函数思想在高中数学解题训练中的妙用
2024-09-23张传利
【摘要】函数思想在高中数学解题训练中具有广泛的应用，可以帮助学生更好地理解和解决问题.通过函数思想可以解决集合问题、方程问题、数列问题、不等式问题等数学问题，能够提高学生的问题解决能力和思维的灵活性.
【关键词】函数思想；高中数学；解题技巧
在高中数学学习中，函数是一个重要的概念和工具，不仅是数学理论的基础，也是解决实际问题的强大工具[1].函数思想可以帮助学生将抽象的数学概念与实际问题相联系，更好地理解和解决各种数学问题.
1 运用函数思想解决集合问题
在解决集合问题时，可以将集合看作一个函数的定义域，然后通过分析函数的性质和图像来解决集合的交、并、差等问题[2].
例1 若集合A=x，yy－1x－2=1，B=x，yy=x2－2x+1，求A∩B.
解析 对于集合A，由y－1x－2=1，
得到y－1=x－2，
即y=x－1x≠2，
A表示直线y=x－1x≠2上的点，
对于集合B，y=x2－2x+1，B表示y=x2－2x+1上的点，
由y=x－1y=x2－2x+1，
得到x－1=x2－2x+1，
解得x2－3x+2=0，
即x－1x－2=0，
求得x1=1，x2=2（舍去），
y=x－1=0，
最终得到A∩B=1，0.
2 运用函数思想解决方程问题
在解决方程问题时，可以将方程看作函数的零点问题.通过建立函数模型，将方程转化为函数的形式，然后利用函数的性质进行分析和求解[3].
例2 解方程x+82021+x2021+2x+8=0.
解析 方程中的2x+8=x+x+8，
所以方程转化为x+82021+x+8+x2021+x=0，
设f（t）=t2021+t，
方程转化为f（x+8）+f（x）=0，
所以f（x+8）=－f（x），
f（t）=t2021+t为奇函数，且为增函数，
所以f（x+8）=f（－x），
x+8=－x，求得x=－4，
所以方程x+82021+x2021+2x+8=0的解为x=－4.
3 运用函数思想解决数列问题
在解决数列问题时，可以将数列看作函数的值域.通过建立数列的通项公式，将数列转化为函数的形式，然后利用函数的性质进行分析和求解[4].
例3 Sn是等差数列an的前n项和，4S3=S2+S6，a2=2，数列bn满足bn=an1an，当bn最大时，求n的值.
解析 等差数列an的前几项和为
Sn=na1+nn－12d，
由4S3=S2+S6得到
43a1+3×22d=2a1+2×12d+6a1+6×52d，
即12a1+12d=8a1+16d，
得到a1=d，
又因为a2=2，即a1+d=2，
所以a1=d=1，
所以an=n，
所以bn=an1an=n1n，
所以lnbn=lnn1n=lnnn，
设f（x）=lnxxx>0，
则f′（x）=1－lnxx2，
当0<x<e时，f′（x）>0，f（x）单调递增，
当x>e时，f′（x）<0，f（x）单调递减，
所以f（x）max=f（e），
由题意可知n为正整数.
因为2<e<3，
所以当n=2时，lnnn=ln22；
当n=3时，lnnn=ln33，
因为ln22－ln33=3ln2－2ln36=ln8－ln96<0，
所以ln22<ln33，
所以n=3时，bn取得最大值.
4 运用函数思想解决不等式问题
在解决不等式问题时，可以通过建立函数模型，将其转化为函数形式，然后利用函数的性质进行分析和求解.将不等式问题看作函数的取值范围问题.
例4 已知不等式kx2+kx+6x2+x+2>2，对任意x∈R恒成立，求k的取值范围.
解析 首先对不等式的分母x2+x+2进行正负判断，
x2+x+2=x+122+74>0，
将不等式转化为kx2+kx+6>2x2+2x+4，
进而得到k－2x2+k－2x+2>0，
①当k－2=0时，即k=2，上式2>0，结论显然成立.
②当k－2≠0时，即k≠2，
令y=k－2x2+k－2x+2，
因为对任意x∈R，k－2x2+k－2x+2>0恒成立，所以该函数同时满足
k－2>0，Δ=k－22－4×k－2×2<0，
解得2<k<10，
结合①和②，得到k的取值范围为2，10.
5 结语
通过运用函数思想，学生可以更好地理解和解决各种数学问题，培养逻辑思维能力，提高解决问题的能力和思维的灵活性，为今后的数学学习打下良好基础.
参考文献：
[1]朱琳.构造函数法在高中数学解题中的应用策略[J].数理天地（高中版），2023（17）：30-31.
[2]冯有胜.函数思想在高中数学解题中的有效应用[J].数理天地（高中版），2023（17）：44-46.
[3]张丽英.函数思想在高中数学解题教学中的应用策略[J].数学学习与研究，2023（18）：111-113.
[4]朱坤密.基于函数思想的高中数学解题探究[J].数学学习与研究，2023（18）：108-110.
