整体思想在高中数学解题中的应用

【摘要】 高中数学中涉及不少思想，整体思想即为其中之一，其有着比较广泛的运用空间，用来解题可以有效减少计算步骤、降低运算的复杂程度，提升学生的解题效率，使学生通过整体思想的应用掌握解答数学试题的窍门，帮助他们树立学习好数学的自信心.本文主要对整体思想在高中数学解题中如何应用进行分析与探讨，并分享部分解题实例.

【关键词】整体思想；高中数学；解题技巧

整体思想，从本质视角来说，就是基于问题的整体性质切入，对问题的整体结构进行分析与改造，找到问题的整体结构特征，将一些图形或者式子视为一个整体，确定好这些信息之间存在的内在联系，有意识、有目的地进行整体处理.在高中数学解题训练中，教师可指导学生灵活应用整体思想，使其通过化简和整理把问题本质揭示出来，从而轻松解题.

1 应用整体思想解决向量类试题

在高中数学课程教学中，向量是一类比较特殊的题目，比较常见的是求某个向量的最值，处理此类试题时，教师不仅要提醒学生关注通解通法，即为结合向量的坐标运算和几何性质来解答，还应当让学生学会摆脱固有思维定式的影响，直接分析题干中提供的所有条件，使其根据所学知识对这些条件展开整体处理，最终做到简化计算步骤，顺畅地完成试题解答[1].

例1 已知有两个平面向量a与b，且满足1≤|a|≤2，1≤|a+b|≤3，1≤a·b≤2，求b的最大值.

分析 本道题目较为特殊，如果运用常规方面很难顺利完成解题，而采用整体思想进行处理的话，能够有效简化计算流程，减少错误现象的出现.

详解 因为1≤|a|≤2，

所以两边平方后能够得到1≤|a|2≤4，

即为－4≤－|a|2≤－1①，

因为1≤|a+b|≤3，

所以两边平方后能够得到1≤|a+b|2≤9②，

因为1≤a·b≤2，

所以两边同时乘以－2能够得到－4≤－2a·b≤－2③，

通过对这三个不等式的观察发现不等号的方向一样，将它们进行整体相加能够得到0≤|b|2≤6，则|b|≤6，所以b的最大值是6.

2 应用整体思想解决不等式试题

在高中数学不等式解题教学中，这类题目同初中时期的相比难度明显增加，有的试题还较为复杂，有时学生很难快速找到解题的切入点与思路，这时需先对已知条件展开适当处理或变形，再找到共同部分，然后把某个部分视为一个整体，通过一个字母来代替，清晰明了地把参数关系给呈现出来，但还需关注整体部分的具体取值范围，由此确定最终结果[2].

例2 已知x，y，z均为正实数，且满足（x+2y）（y+z）=4yz，其中z≤3x，求w=3x2+2y23xy的取值范围.

分析 通过分析与整理所求的表达式w，发现里面含有xy与yx，可以将这两个部分均视为整体，然后再根据所学习的函数知识就能够完成解题.

详解 结合题意可知

w=3x2+2y23xy=xy+23×yx，

这时可把xy视作一个整体，利用字母t来表示，那么w=t+23t，然后要求的便是t的具体取值范围，

因为（x+2y）（y+z）=4yz，

所以xy+xz+2y2=2yz，

即为xy+2y2=z（2y－x），

又因为z≤3x，

所以xy+2y2≤3x（2y－x）①，

因为x、y、z均为正实数，所以xy+2y2>0，2y－x>0②，将②式两边都除以y，可以得到2－xy>0，则t<2，

将①式整理后可以得到3x2－5xy+2y2≤0，

也就是3t2－5t+2≤0，据此求得23≤t≤1，

根据对勾函数的性质能够判断出w的取值范围是263，53，

所以w=3x2+2y23xy的取值范围是263，53.

3 应用整体思想解决数列类试题

针对高中数学数列试题来说，常规考查对象是等差数列与等比数列这两个方面的内容，不过很多时候都会同函数知识结合到一起，所求的是数列通项公式，这就导致此类试题难度有所增大，学生不仅需关注对整体思想的应用，还应灵活采用数列和函数的性质等知识，同时结合具体题干情境，借助求数列通项公式的具体方法顺畅完成解题[3].

例3 已知函数g（x）=fx+12－1是R上的一个奇函数，an=f（0）+f1n+…+fn－1n+f（1），n∈N*，求数列an的通项公式.

分析 这是一道综合性较强的试题，是函数同数列的结合题，难度相对较大，处理本道题目的关键之处是把x+12视为一个整体，利用整体思想能够在运算过程中少走一些弯路，且提高结果的准确度.

详解 因为函数g（x）=f（x+12）－1是R上的一个奇函数，

所以g（－x）=－g（x），

那么当把x+12视为一个整体时，

有fx+12+f12－x=2，则函数f（x）的图象关于点12，1对称，然后将12－x也视为一个整体，且利用字母t来表示，

由此能够得到x+12=1－t，

那么f（t）+f（1－t）=2，

又因为an=f（0）+f1n+…+fn－1n+f（1），

所以an=f（1）+fn－1n+…+f1n+f（0），

将两个式子相加能够得到2an=2+2+…+2=2（n+1），则an=n+1，

所以数列an的通项公式是an=n+1.

4 结语

综上所述，在高中数学解题教学活动中，教师应切实意识到整体思想的特殊作用和功能，通过对一些具有代表性的经典试题的深度剖析，让学生明白这类试题所考查的侧重点到底是什么，使其知道在什么时机、如何采用整体思想，不断总结与归纳题型特征及解题规律，引领他们在整体思想助力下顺利解答数学试题，且做好总结和反思工作，为高考做准备.

参考文献：

[1]黄火根.借助整体思想 走出数学解题困境[J].数理化解题研究，2023（06）：14-16.

[2]梁卫祥.例谈整体思想在高中数学解题中的应用研究[J].高中数理化，2021（S1）：21.

[3]王立嘉.整体思想在高中数学解题中的应用[J].中学数学教学参考，2021（09）：37-39.