关于高中函数相关习题的解题分析

【摘要】函数题在高中数学习题中占比较大，解法较多，呈现一定的规律性.当前高考命题中，在函数习题方面，注重考查学生解题过程中的创新性思维与自主性思维.本文以具体的函数习题为例进行解题分析，在不同的解法中探析高中数学函数知识，以提升学生函数解题效率.

【关键词】高中数学；函数；解题技巧

在高中函数习题解答过程中，教师应当引导学生加强对函数知识点的深入理解，从多个角度探讨解题方法，实现数学解题思维的拓展[1].为此在解题过程中，应当构建完备的函数知识网络，在解题实践中运用不同的解题技巧，结合题目中函数的具体特点，发散思维，寻找最为适宜的解题方法，提升函数习题解题效率.在解题过程中，多思考，多总结，在实践中培养多元化解题能力[2].

例1 已知函数f（x）=x2+（x－1）x－a．

（1）如果a=－1，求解方程f（x）=1；

（2）如果函数f（x）在R上单调递增，那么实数a的取值范围是 ；

（3）如果a＜1，同时不等式f（x）≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，那么a的取值范围是 .

解析 （1）在a=－1的情况下，

f（x）=x2+（x－1）x+1，

因此得出f（x）=2x2－1，x≥－1，1，x<－1，

在x≥—1的情况下，结合f（x）=1，得出2x2－1=1，

因此有x=1，或x=－1．

在x＜—1的情况下，f（x）=1恒成立．

所以方程的解集是{x|x≤—1或x=1}．

（2）f（x）=2x2－（a+1）x+a，x≥a，（a+1）x－a，x<a，

如果f（x）在R上单调递增，

那么得出a+14≤a，a+1>0，有a≥13，

因此在a≥13情况下，f（x）在R上单调递增．

（3）若g（x）=f（x）－（2x－3），

可得g（x）=2x2－（a+3）x+a+3，x≥a，（a－1）x－a+3，x<a，

不等式f（x）≥2x－3对一切实数x∈R恒成立，

则不等式ga+34=a+3－（a+3）28≥0对一切实数x∈R恒成立．

由于a＜1，

因此当x∈－∞，a时，g（x）单调递减，

g（x）的值域是a2－2a+3，+∞，

由于a2－2a+3=（a－1）2+2≥2，

因此g（x）≥0成立．

在x∈a，+∞的情况下，结合a＜1，得出a＜a+34，g（x）在x=a+34处取得最小值，

若ga+34=a+3－（a+3）28≥0，

得出—3≤a≤5，同时a＜1，

所以—3≤a＜1．

因此，a∈[—3，1）．

小结 对于含有绝对值的函数，根据绝对值的定义，将含有绝对值的函数转化为分段函数的形式，分别求解每一段的函数值与不等式.在分析函数的单调性时，分别考虑函数在不同区间的单调性，并结合单调性的条件，得出参数的取值范围.在解决不等式问题时，利用不等式的性质，将不等式转化为易于求解的形式，并结合题目给出的条件，求解参数的取值范围.在解题过程中，注意函数的定义域，在求解过程中应不超出函数的定义域范围[3].

例2 若有函数f（x）=x2－1，g（x）=a|x－1|．

（1）如果函数h（x）=f（x）－g（x）只有一个零点，那么实数a的取值范围是多少？

（2）在a≥—3的情况下，函数h（x）=f（x）+g（x）在区间－2，2上的最大值是多少？

解 （1）h（x）=|f（x）|—g（x）只有一个零点，

即h（x）=|f（x）|—g（x）=|x2—1|—a|x—1|只有一个零点，

显然x=1为函数的零点，

得出|x+1|—a=0无实数根，

因此有a＜VMv/rg419AarINUyJ08crLUXcsslXy57chr8UX9NXCg=0.

（2）h（x）=|f（x）|+g（x）

=|x2—1|+a|x—1|

=x2+ax－a－1，1≤x≤2，－x2－ax+a+1，－1<x<1，x2－ax+a－1，－2≤x≤－1，

在1＜x≤2的情况下，

因为a≥—3，得出—a2≤32，

因此，当x=2时，h（x）的最大值是：h（2）=a+3；

在—2≤x＜—1的情况下，a2≥—32，

在x=-2时，h（x）的最大值是：h（—2）=3a+3；

在—1≤x≤1的情况下，

h（x）的最大值为：

max{h（—1），h（1），h（—a2）}=max{2a，0，14a2+a+1}=14a2+a+1，

因此得出函数h（x）最大值是

h（a）=a+3，－3≤a≤0，3a+3，0<x<4+26，14a2+a+1，a>4+26.

小结 对于涉及绝对值的函数问题，无疑是数学领域中一个既具挑战性又充满趣味性的课题.在处理含绝对值的函数问题时，可根据绝对值的性质，将原函数拆分为若干个分段函数.在将函数拆分为分段函数后，针对每个分段函数进行详细的求解，分别求解每个分段函数的零点，并判断零点是否满足原函数的定义域.而对于函数最值问题，则分别求解每个分段函数的最值，并比较这些最值以确定原函数的最值.在求解过程中，注意分析参数的取值范围对解或最值的影响.参数的取值范围会改变分段函数的性质，进而影响原函数的解或最值.因此，需要对参数的取值范围进行仔细的分析[4].

结语

高中函数题目类型多样，在解题过程中可以构建多元化的解题思维，结合相关函数知识，从不同的思维角度入

手从而顺利解题.面对不同的数学习题，多开动脑筋，在实践中拓展解题思维，创新解题策略，提升函数相关习题的解题效率.

参考文献：

[1]李健.变式教学在高中数学结构化组织中的实践探索——以“函数”的高三复习课设计为例[J].数学通报，2023，62（05）：12-16.

[2]韩龙淑，柳璎乃，李露.高中数学新人教A版“函数的零点与方程的解”的变化与教学建议[J].教学与管理，2023（15）：66-69.

[3]张晓斌，米新生，陈昌浩，等.高中数学“函数的概念与性质”主题内容教学探究[J].教学与管理，2022（30）：87-90.

[4]刘绿芹.学业述评的价值意蕴与实施路径——以普通高中数学“函数y=Asin（ωx+？）”为例[J].基础教育课程，2021（11）：65-71.