利用“函数观点”巧解数列题

【摘要】结合三则典例，利用二次函数、三次函数、超越函数观点，巧解数列题，以帮助学生积累解题经验，逐步提升解题技能，发展学生核心素养.

【关键词】函数；高中数学；解题技巧

处理某些数列问题时，可以灵活运用“函数观点”，将具体的数列问题先转化为相关函数问题，再从函数本身具有的特性出发分析、解决目标问题，往往可顺利获解.

1 类型1 利用二次函数观点，巧解数列题

一般地，遇到数列的通项是关于“n”的二次函数，或处理有关等差数列问题时，往往可灵活利用二次函数观点加以求解.

1.1 利用二次函数的解析表达式，求解比值问题

例1 已知两个等差数列an和bn的前n项和分别是Sn和Tn，且满足SnTn=n2n+1，则a5b3= .

分析 依据题意，

可设Sn=kn2，Tn=kn（2n+1），k≠0，

则因为a5=S5－S4=25k－16k=9k，

b3=T3－T2=21k－10k=11k，

所以a5b3=9k11k=911.

评注 本题极易这样错解：设Sn=kn，Tn=k（2n+1），k≠0，则因为a5=S5－S4=5k－4k=k，b3=T3－T2=7k－5k=2k，所以a5b3=k2k=12.错因探究——根据等差数列的求和公式Sn=na1+n（n－1）2d=12dn2+a1－d2n，可知：若an是等差数列，则其前n项和必为二次函数的形式，且常数项为零，可记作Sn=An2+Bn，其中A，B都是常数，且公差d=2A，据此即知本题“设”法有讲究，必须关注.

1.2 利用二次函数的图象与性质，求解最值问题

例2 已知数列an中，a1=25，4an+1=4an－7，若其前n项和为Sn，求Sn的最大值.

分析 由4an+1=4an－7，知数列an为等差数列，公差d=－74，所以可得

Sn=25n+n（n－1）2×－74

=－78n2+2078n

=－78n－207142+78×207142.

因为函数f（x）=－78x－207142+78×207142的图象开口向下，对称轴为x=20714，且20714=

14+1114，点（15，S15）比点（14，S14）更靠近对称轴，所以当n=15时，Sn取得最大值.

故所求Sn的最大值为S15=15×25+15×142×－74=7654．

评注 由于等差数列是一类特殊的函数，其定义域为正整数集（或其非空

子集），所以借助二次函数的图象和性质分析等差数列的前项和的

最值时，不仅要关注二次函数图象的最高点或最低点的横坐标是否

为正整数，而且要关注二次函数图象的对称性的灵活运用.进一步分

析，易知当等差数列的前项和取得最大值或最小值时，对应的取值

不一定唯一，可能一个也可能两个.

2 类型2 利用三次函数观点，巧解数列题

一般地，若目标式是关于“n”的三次函数，那么求解该目标式的最值时，可灵活利用三次函数观点（需要求导，分析并运用函数的单调性）加以求解.

例3 等差数列an的前n项和为Sn，已知S10=0，S15=25，求nSn的最小值.

分析 易得a1=－3，公差d=23，

所以nSn=n－3n+n（n－1）2×23=13n3－103n2.

构造函数f（x）=13x3－103x2，x>0，

则f′（x）=x2－203x，

所以易知当x∈0，203时，f′（x）<0；

当x∈203，+∞时，f′（x）>0.

于是，函数f（x）在0，203上单调递减，在203，+∞上单调递增.

从而，当x=203时，函数f（x）取得最小值.

又注意到6<203<7，且f（6）=－48>f（7）=－49，故所求nSn的最小值为－49.

评注 由于数列是特殊的函数，所以结合解题目标很容易想到——本题求得nSn的表达式之后，可通过构造函数，利用函数的单调性灵活解题.

3 类型3 利用超越函数观点，巧解数列题

一般地，遇到数列的通项是关于“n”的超越函数，那么求解该数列中的最值项时，可灵活利用超越函数观点（需要在适当变形的基础上灵活求导，分析并运用函数的单调性）加以求解.

例4 已知数列an的通项公式为an=nn（规定：11=1），n∈N*，则此数列中最大项的值为．

解析 注意到an=nn=n1n，n∈N*，所以可通过构造函数，活用函数的单调性求解.

设函数f（x）=x1x（x>0），则借助对数恒等式转化得f（x）=elnxx，所以利用复合函数求导法则可求得f′（x）=1－lnxx2·elnxx，又elnxx>0恒成立，于是易知：当x∈（0，e）时，f′（x）>0，f（x）单调递增；当x∈（e，+∞）时，f′（x）<0，f（x）单调递减. 由此可得x=e为该函数的极大值点也是最大值点，又n∈N*，所以此数列中最大项为maxa2，a3.

又由a2=2=68，a3=33=69，得a2<a3.故此数列中最大项的值为33．

评注 当数列的通项公式所对应的函数的单调性复杂而较难判定时，需要借助导数来判定．本题中函数f（x）=x1x的求导公式未知，只不过知道（xa）′=axa－1（a为常数），ax=axlna（a>0且a≠1），于是需要先对函数解析式做适当变形，再求导．

4 结语

综上，在解题中多关注“函数观点”的灵活运用，往往有助于帮助我们巧妙分析、解决相关数列问题，从而不断积累解题经验，逐步提升解题技能.

参考文献：

[1]朱慧.用函数的观点解数列题三例[J].中学生数学，2021（07）：10-12.

[2]周杰华.借力函数思想巧解数列问题[J].中学生数理化（高二数学），2019（09）：29-30.

[3]杨瑞强.构造函数巧解数列问题[J].中学生数学，2012（11）：12-13.