化归思想在高中数学解题中的应用实践

【摘要】本文以几道高中数学习题为例进行分析，探讨化归思想在高中数学解题中的应用实践.化归思想在解题中较为常见，能够将复杂问题简单化，有助于学生更好地理解数学知识，提高解题能力.本文结合高中数学的具体例题，详细阐述化归思想在解题中的应用步骤，以对广大师生有所启示.

【关键词】化归思想；高中数学；解题技巧

高中数学知识具有较强的抽象性与复杂性，很多学生在解题过程中感到困难重重.教师为了促进学生更好地理解数学知识，提高解题能力，可引入化归思想，提升学生解题效率.化归思想将复杂问题简单化，有助于学生在解题过程中找到问题的突破口，从而顺利解决问题.化归思想的基本内涵是将一个复杂的问题转化为一个或多个相对简单的问题，将一个未知的问题转化为一个已知的问题，从而找到解题的突破口[1].化归思想的核心在于转化和简化，要求学生能够灵活运用所学的数学知识，在解题过程中能够进行合理的转化与简化，将复杂问题变得简单易懂，实现解题[2].

例1 （1）若已知函数α，β满足α3－3α2+5α=1，β3－3β2+5β=5，求解α+β的数值；

（2）已知关于x的方程在0，π内有解，求α的取值范围.

解析 （1）结合题意，构造函数.

f（x）=x3－3x2+5x=（x－1）3+2（x－1）+3，

得出f（α）=1，f（β）=5.

已知g（t）=t3+2t在R上为单调递增的奇函数，同时满足：

g（α－1）=f（α）－3=－2，

g（β－1）=f（β）－3=2，

得出g（α－1）=－g（β－1）=g（1－β）α－1=1－βα+β=2.

（2）该小题解题关键在于解三角方程，得出α的范围，具有一定的难度，为此运用化归思想，将解题过程转化为分析α=cos2x－cosx－1= （cosx－12）2－54在x∈［0，π］的取值范围，此时在简单计算之后，即能够得出α的取值范围为－54，1.

解题思考 在解答该题目过程中，面对略微繁复的习题，引入化归思想，构造函数进行解题，巧妙地构造辅助函数，在高中数学习题解答中被广泛运用，能够将题目中的问题转化为辅助函数的性质，从而利用已有的知识内容进行解题，显著提升了解题效率.

例2 若e是自然对数的底数，若对任意x∈1e，1，总有唯一的y∈－1，1，使得lnx－x+1+a=y2ey成立，则实数a的取值范围（ ）

（A）1e，e. （B）2e，e.

（C）2e，+∞. （D）2e，e.

解析 结合题意，

设f（x）=lnx－x+1+a，

在x∈1e，1情况下，

得出f′（x）=1－xx>0，f（x）为增函数，

因为x∈1e，1时，

得出f（x）∈a－1e，a，

设g（y）=y2ey，那么对于任意的x∈1e，1，始终存在唯一的y∈－1，1，

能够得出lnx－x+1+a=y2ey，

由于a－1e，a为g（y）的单值区间的子集，

那么在g′（y）=y（2+y）ey，

因此得出在y∈－1，0情况下，如果g（y）＜0，g（y）=y2ey为减函数.

如果y∈0，1，g（y）＞0，g（y）=y2ey为增函数.

由于g（－1）=1e<e=g（1），此时针对任意x∈1e，1，

始终存在唯一的y∈－1，1，

能够满足lnx－x+1+a=y2ey的等式成立，

因此得出a－1e，a1e，e，

所以a≤e，a－1e>1e，

得出a≤e，a>2e，即a∈2e，e.

因此该习题选（D）选项.

例3 如图1所示，现有一块钢板，需将它制作成一个零件，该零件的上面为半圆形，下面为矩形，周长为P，那么需如何制作成的零件最大面积是多少？

分析 该习题属于应用题，直接解答具有一定的难度，此时可以引入化归思想.结合题目中的条件与要求，引入化归思想，将题目中的条件转化为一个函数的最值问题进行求解，能够更为便捷地解题.

解析 结合题目条件，构造函数，在该情境之下，设该矩形的一边长为x，则半圆的周长表示为πx2.

该矩形的另一边长表示为：

AB=12（P－x－πx2）=2P－（π+2）x4，

S表示该零件的面积，则得出：S=12·π4x2+x·2P－（π+2）x4=－π+48x2+P2x，

由于a＜0，得出在x=－b2a=2Pπ+4情况下，S取得最大值，得出AB=Pπ+4.

因此，在矩形的两邻边AB与BC之比为1∶2情况下，可得出Smax=P28+2π.

点评 思考该问题时，将实际问题转化为数学问题，包括几何图形面积的计算、优化问题的求解.可将该问题转化为一个函数问题，即寻找一个函数，该函数要能描述零件面积与半圆的半径、矩形的长和宽之间的关系.利用数学工具求解该函数的最大值，根据点的坐标确定零件的最佳设计方案[4].解答该题目过程中，将数学结果解释回实际问题中，根据计算得到的最佳设计方案制作零件，以保证面积达到最大值.在题目解答过程中，巧妙运用化归思想，将实际问题转化为数学问题，利用数学工具进行求解，可更加准确地找到问题的解决方案[5].

结语

化归思想是一种重要的数学解题思想方法，在高中数学解题中具有广泛的应用价值.在高中数学解题中运用化归思想可以将复杂问题简单化，未知问题已知化，从而找到解题的突破口.因此，教师在高中数学教学中应注重培养学生的化归意识，促进学生利用化归思想解决数学问题.

参考文献：

[1]马晓丹.核心素养视角下高中数学微专题教学策略与实践——以“求解圆锥曲线的离心率”教学为例[J].数学教学通讯，2022（27）：29-30.

[2]刘灏.立足知识基础，聚焦方法思想——2023年高考数学新课标全国二卷第18题[J].数理天地（高中版），2024（07）：63-65.

[3]刘大伟，李勇霞.探究高考试题中的数学思想——以2022年新高考Ⅰ卷为例[J].中小学数学（高中版），2022（09）：15-18.

[4]沈月红.拨云见日终有时，化归解题醉晴空——化归思想在高中数学解题过程中的应用方法分析[J].数学学习与研究，2022（34）：17-19.

[5]林世平，王珠芳.立足转化思想，培育核心素养——例谈转化思想在高中数学解题中的应用[J].数学之友，2022，36（20）：58-60.