巧用辅助元解答高中数学试题

【摘要】在高中数学解题训练中，教师可引入辅助元的解题方法，就是把题目中的部分元素进行重新排列与组合，构造出新的变量即为辅助元.本文据此展开分析和探讨，并罗列几道例题.

【关键词】辅助元；高中数学；解题技巧

在高中教育阶段，随着数学知识难度的提升，题目难度系数也随之变大，不少问题采用常规方法很难求解，过程较为繁琐，极易出现错误，部分题目甚至无法求出结果.这时高中数学教师可指导学生根据解题需求构造辅助元，使其通过合理构造辅助元，像函数、方程和图形等，借此把陌生问题变得熟悉化，复杂题目变得简单化，帮助他们巧妙解答数学题.

1 构造数列辅助元巧解答数学试题

在高中数学解题教学中构造辅助元是一种常规解题思路，指引学生借助点位于曲线之上顺利构造出辅助性数列，如果相邻2项或者3项存在着线性递推规律，即可用到待定系数法将复杂化的数列转变为等比数列，或者让他们按照题设关系，构造出相应的等差或等比数列，优化解题思路.

例1 已知一个数列an，n∈N*，an+1=2an+2n+1+3n－1，而且a3=52，那么数列an的通项公式是什么？

分析 处理这一题目时，可根据题设中给出的已知条件an+1，2an，2n+1，3n之间“齐次式”的特点展开整体变形，结合式子特点通过联想巧妙构造出新的数列辅助元，便于找到解题的突破口，随后借助累加法即可求得数列an的通项公式.

详解 将an+1=2an+2n+1+3n－1两边同时除以2n+1，

能够得到an+12n+1－an2n=3n2n+1－12n+1+1，且（n∈N*），

然后用“累加法”进行求解，

可以得到an2n－a12=12［32+（32）2+…+（32）n－1］－12［12+（12）2+…+（12）n－1］+n－1，

因为a3=52，

an+1=2an+2n+1+3n－1，

所以求得a1=6，

故数列an的通项公式an=n·2n+3n+1，且（n∈N*）.

2 构造函数辅助元解答数学试题

在高中数学课程教学实践中，函数既是重要知识点之一，还是属于解题中比较常用的一个工具，在训练中，教师可提示学生基于函数视角切入来分析题干内容，由此顺利构造相应的辅助元函数，引领他们借助函数有关知识处理与解答题目，使其形成清晰的解题思路.为此，高中数学教师在日常教学中，应当借助有关练习融入构造函数辅助元的解题方法与思想，引导学生学会构建函数辅助元来进行解题，辅助他们快速解答导数、数列与方程等多类试题.

例2 已知（3tanα+cotβ）3+tan3α+4tanα+cotβ=0，且α≠kπ+π2，β≠k，k∈Z，请证明：4tanα+cotβ=0.

分析 审完题之后，从表面上来看是一道有关三角函数的题目，假如纯粹f使用角代换、诱导公式等三角函数的方法来求解，很难求解，不过可以先认真研究题设特点，构造出相应的函数辅助元函数，再巧妙证明，即把4tanα+cotβ转化成（3tanα+cotβ）+tanα，将3tanα+cotβ视为函数f（x）=x3+x上的一个零点，由此构造出一个新的函数f（x），随后借助函数的单调性与奇偶性完成证明.

证明 将原式变形为（3tanα+cotβ）3+ tan3α+4tanα+cotβ

=（3tanα+cotβ）3+3（tanα+cotβ）+tan3α+tanα=0，

然后设函数f（x）=x3+x，

根据α≠kπ+π2，β≠k，k∈Z可知该函数为一个单调递增函数，且还是一个奇函数，

所以f（3tanα+cotβ）=－f（tanα）=f（－tanα），

依据函数单调性的特点能够得到3tanα+cotβ=－tanα，

也就是4tanα+cotβ=0.

3 构造图形辅助元解答数学试题

众所周知，数学知识主要包含代数与几何这两个板块，数形结合思想也是高中学生在学习数学知识过程中应当掌握的数学思想方法之一，可实现代数与几何之间的彼此转化，能够让他们找到更为适当的解题思路.高中数学教师可引领学生根据题目构造图形辅助元，包括辅助线、辅助多边形或辅助圆等.通过对数形结合思想的有效应用，学会运用熟悉图形的几何性质分析与解答繁难题目，达到化难为易的效果，提升他们的解题自信.

例3 已知α，β和γ均属于锐角，且cos2α+cos2β+cos2γ=1，请问tanα·tanβ·tanγ的取值范围是什么？

分析 读完题干内容以后，发现这是一道典型的三角函数类题目，虽然题干信息不多，但是如果直接运用三角函数相关公式来求解的话，解题过程将会异常繁琐，不仅容易陷入到困境当中，而且出错概率较大，以至于很难证明结论.这时就要另辟蹊径，突破固有解题思维的禁锢，借助构造辅助元的方法解答试题，具体而言是根据已知条件构造一个辅助长方体，依托数形结合思想的功效，把“数”和“形”巧妙结合到一起，最终结合长方体中的边和角关系展开证明.

详解 根据题意构造出一个辅助长方体ABCD－A1B1C1D1，如图1所示，设假该长方体的长、宽、高是a，b，c，与顶点A相交的3条棱与对角线AC1所形成的夹角分别为α，β和γ，

因cos2α+cos2β+cos2γ=1成立，

所以tanα·tanβ·tanγ

=a2b2c×b2c2a×a2c2b

≥2ab＋2bc＋2acabc

=22，

所以说tanα·tanβ·tanγ的取值范围是［22，+∞）.

4 结语

综上所述，在高中数学解题教学活动中，由于知识点难度较大，题目综合性较强，学生在解题过程中不能仅仅依靠已有的公式或者定理.当处理一部分难度系数较高的试题时，要注意联系与类比，找出题干中已知条件与结论之间存在的关系，使其根据实际情况巧妙构造和使用适当的辅助元进行解题，尽可能把式子作简化处理，最终让他们高效地解答数学试题.

参考文献：

[1]朱振华.例谈运用设辅助元法解题的步骤[J].语数外学习（高中版中旬），2023（06）：34.

[2]张银华.构造辅助元，巧解数学题[J].语数外学习（高中版中旬），2021（02）：54.

[3]王梅.巧设辅助元 妙解应用题[J].初中生世界，2020（Z4）：96-97.