处理复杂函数式极值点问题的策略

【摘要】导数问题中不可避免的一步就是对函数求导过后的极值点进行研究，但是往往出题人不会将极值点以简单的形式呈现，经常以复杂函数式的方式给考生设置障碍，让极值点难以直接得到.本文结合几道典型例题探讨解决此类问题的几种策略.

【关键词】高中数学；复杂函数；极值点

对于复杂函数式极值点问题，就应该抛弃传统思维，转而去研究一些其他的方法让极值点变得可求，或者跳过极值点进行研究.本文就根据几道例题谈谈此类复杂函数式极值点问题解法策略.

策略1 分解函数法

试题中经常会遇到原函数很复杂、由多种函数混合而成的情况，如指数函数、三角函数等，直接进行求导可能会因为各种函数求导结果的不同而导致极值点难以分析，此时就可以采取将导数进行分解，变为几个简单函数相加的形式，这样就能够便于处理.

例1 设函数f（x）=a（x－lnx）+2x－1x2（a∈R），求证：当a=1时，f（x）>f′（x）+32对于任意的x∈［1，2］恒成立.

证明 当a=1时，

f（x）=x－lnx+2x－1x2，

f′（x）=1－1x－2x2+2x3.

即x－lnx+2x－1x2>1－1x－2x2+2x3+32，

转化后得到x－lnx+3x+1x2－2x3>52.

令函数g（x）=x－lnx，h（x）=3x+1x2－2x3，则只需要证明g（x）+h（x）>52对任意的x∈［1，2］恒成立.

由于g′（x）=x－1x≥0，从而g（x）在（1，2）上单调递增，g（x）≥g（1）=1，当且仅当x=1时取等号，

由于h′（x）=－3x2+2x－6x4，

令h′（x）=0可得x=19－13.

从而得到h（x）在1，19－13上单调递增，在19－13，2上单调递减，

所以h（x）的最小值为h（1）或h（2）.

h（1）=2，h（2）=32，

所以h（x）≥h（2）=32，当且仅当x=2时取等号.

因为g（x）≥g（1）=1，

所以g（x）+h（x）>52，

所以f（x）>f′（x）+32在［1，2］上恒成立.

分解函数法的关键在于将函数进行合理的拆分，使得原函数变为单个的简单函数，再进行研究.一般来说，常用的分解准则就是不同类型的函数进行拆分，求导后易于求解极值点的可以作为整体等.这需要学生在平时的练习中总结经验.

策略2 等价转化法

等价转化法的原理是将导数零点问题转化为其他代数式是否成立的问题，其根本上并没有改变题目的整体性质，而是经过合理的变换将条件转化成易于求解的形式，从而形成一个便于解决的新的问题.学生需要仔细阅读题目，找寻可等价转化的量或表达式，通过代数转化使其形式精简，答案就显而易见了.

例2 设函数f（x）=ex+x－a，若曲线y=sinx上存在点（x0，y0）使得f（f（y0））=y0，求a的取值范围.

解 因为y0=sinx0∈［－1，1］，

且f（x）≥0，f（f（y0））=y0，

所以y0∈［0，1］.

又因为f（x）在定义域上是单调递增的，

若f（y0）>y0，则f（f（y0））>f（y0）>y0与f（f（y0））=y0相矛盾，

同理f（y0）<y0也不成立，

所以f（y0）=y0，即f（x）=x在［0，1］上有解，

即ex+x－a=x，

可得a=ex+x－x2.

令g（x）=ex+x－x2，

则g′（x）=ex+1－2x≥0恒成立，

所以g（x）在［0，1］上单调递增，

所以g（x）∈［g（0），g（1）］，即a∈［1，e］.

等价转化法有多种类型的转化，例如此题就是将原问题转化为了可以用分类讨论来简化的形式.此外，还可以考虑将函数问题转化为方程问题、几何问题等.要达到简化和等价的目的，就必然要有巧妙的转化，联系各种数学知识之间的关系，猜测出题人意图就能解出答案.

策略3 降幂转化法

在题目中遇到函数式的幂次不等时，就可以考虑使用降幂转化法使整个表达式转化为统一的幂次，或者是在运算过程中通过一些办法将运算式转化为所需要的幂次.这就需要学生根据题目所给条件合理转化，有时求导也能起到降幂的作用.

例3 已知函数f（x）=x3+x2+ax+127有三个零点，求实数a的取值范围.

解 f′（x）=3x2+2x+a，

则Δ=4（1－3a）>0，

从而a<13.设x1，x2（x1<x2）是f′（x）=0的两个根，

则f（x）在（－∞，x1）和（x2，+∞）上单调递增，在（x1，x2）上单调递减，

所以f（x）的极大值和极小值分别为f（x1），f（x2），

且由3x12+2x1+a=0可以得出x12=－2x1+a3，

f（x1）=x13+x12+ax1+127=x1（－2x1+a3）－2x1+a3+ax1+127=6a－29x1+1－3a27，

所以f（x1）f（x2）=（6a－2）281x1x2－2（1－3a）29×27

（x1+x2）+1－3a272.

将x1+x2=－23，x1x2=a3代入并化简可得到关键式：f（x1）f（x2）=（1－3a）227（12a+5），从而由f（x1）f（x2）<0得到a<－512.

降幂转化法是一种很具有数学意义的方法，主要体现在其在数学维度上的降低.高次式转化为低次式是永恒不变的数学问题解决方法.解决此类问题要抓住题目中降幂的关键式才能一步到位.

策略4 放缩法

放缩法的关键在于在一定的范围内通过将原代数式和另一代数式进行比较，选择适当的差量进行形式的简化，常见的不等式有ex≥x+1，ex≥ex，lnx≥－1ex，1－1x≤lnx≤x－1，等等.同学们需要根据题目灵活选择.放缩式相当于一个中间量，中间量与所要证明的两项的大小比较是显而易见的.

例4 设函数f（x）=ax+lnx+1，若对于任意的x>0，f（x）≤xe2x恒成立，求a的取值范围.

解 f（x）≤xe2x即ax+lnx+1≤xe2x，

则a≤e2x－lnx+1x在（0，+∞）上恒成立.

由ex≥x+1可得e2x－lnx+1x=e2x+lnx－（lnx+1）x≥2x+lnx+1－（lnx+1）x=2，

由此可得a≤e2x－lnx+1xmin=2.

放缩法要找到放缩的中间量，有时候在一定范围内放缩式才能成立，对于放缩式的大小需要通过常数或者变量代换的方式进行微调使其逐渐符合题目所需要求，此处也可以充分利用数形结合的方法来进行讨论.

结语

以上四种策略从不同的层面对解决复杂函数式极值点问题进行了解

决，学生要举一反三，利用其中的数学思想，充分发挥不同方法的特性，综合运用才能快而准地解决问题.