以角的关系探索三角函数的化简求值

【摘要】新课程标准在“四基”“四能”方面，对学生和教师都提出了更高的要求.学生每天都有一定的练习量，在课堂上有课堂作业，教师可能还布置相应的课外作业，目的只有一个，那就是要提高学生的“四能”，即发现问题和提出问题的能力，分析和解决问题的能力.在长期的教学实践中不断研究探索，发现寻找角的关系有助于探索三角函数的化简求值.

【关键词】三角函数；角的关系；化简求值

在三角函数学习中，知识点多又分散是基本特点，遇到化简求值时，还是有很多的方法技巧可以使用.教学过程中应遵循由简到难的原则，帮助学生循序渐进地掌握三角函数的相关知识，要从基础知识入手，切勿好高骛远，细致耐心地帮助学生打好基础，引导学生深入思考，逐渐掌握繁琐的三角函数知识体系，全面理解掌握三角函数知识，培养学生的数学思维.本文就角之间的关系去探讨三角函数化简，谈谈个人的见解.

1 在新高考背景下，三角函数的化简求值与角的关系紧密联系在一起

例1 （2016·全国高考真题·理科）若cosπ4－α=35，则sin2α=（ ）

（A）725. （B）15. （C）－15. （D）－725.

分析 这道题应找到角的关系，即π4－α与2α的关系，这种关系是通过建立等式，消去未知数建立起与特殊角的关系.不难看出2π4－α+2α=π2，也就是sin2α=sinπ2－2π4－α=cos2π4－α=－725.选（D）.

另外一些角的构造需要学生注意，如①α=（α+β）－β，②2β=（α+β）－（α－β），③β=α+β2－α－β2，④2α=π4－α+π4－α，⑤2α=2π4－α－π2等.在此基础上灵活运用，更加得心应手.

2 化简求值需要找出角之间的关系，为构造和利用公式创造条件

例2 求sin6°sin42°sin66°sin78°的值.

分析 这里有6°，42°，66°，78°四个角度，那么它们之间存在什么关系呢？仅从数字上看不出有何种关联，需要从三角函数角度分析，利用诱导公式得到sin78°=cos12°，sin66°=cos24°，sin42°=cos48°.所以

sin6°sin42°sin66°sin78°

=sin6°cos12°cos24°cos48°

=2sin6°cos6°cos12°cos24°cos48°2cos6°

=sin12°cos12°cos24°cos48°2cos6°=116.

生活中的许多发现就是在数字间被找到的，如著名的哥德巴赫猜想——所有大于4的偶数都可以表示成两个奇素数之和.伽利略曾

说：“其实在我之前已经有很多的大师表示过数学的美，数学是上帝用来书写宇宙的文字.”

3 以角的关系探索三角函数化简是研究三角函数性质的重要途径

三角函数的性质包括周期性、对称性、奇偶性、单调性、最大值（或最小值）等.三角函数是最典型的周期函数.在学习过程中可利用三角函数构建数学模型，运用模型思想发现问题和提出问题，分析和解决实际问题.

例3 已知函数f（x）=3sin2x－π6+2sin2x－π12x∈R.

（1）求函数f（x）的最小正周期；

（2）求使函数f（x）取得最大值的x的集合.

分析 如果y=Asin（ωx+θ），则最小正周期T=2πω.需要通过化简找到ω.

f（x）=3sin（2x－π6）+2sin2（x－π12）=3sin（2x－π6）+1－cos2x－π12=2sin2x－π3+1，所以f（x）的最小正周期T=2π2=π.

（2）由（1）知：f（x）=2sin2x－π3+1，

当f（x）取得最大值时，2x－π3=2kπ+π2，k∈Z，即x=kπ+5π12.

所求x的集合为xx=kπ+5π12，k∈Z.

这道题的关键在于把f（x）函数化简为最简形式，因此，以角的关系探索三角函数化简是一个很好的途径.

4 以角的关系探索三角函数式的证明

三角函数式的证明，无论是从左往右推导还是从右往左推导，都必须先分析角的关系.一般我们都喜欢从复杂一边往简单一边去证明，化大角为小角、化倍角为单角、运用升幂或降幂公式等进行因式分解来达到目的.

例4 证明：1+sin2θ－cos2θ1+sin2θ+cos2θ=tanθ.

证明 方法1 考虑常数1和其他项组合成公式，进而因式分解化简

左边=1+sin2θ－cos2θ1+sin2θ+cos2θ

=sin2θ+（1－cos2θ）sin2θ+（1+cos2θ）

=2sinθcosθ+sin2θ2sinθcosθ+cos2θ=sinθcosθ=tanθ=右边.

方法2 利用平方关系公式直接代换1，合并后因式分解化简

左边=1+sin2θ－cos2θ1+sin2θ+cos2θ

=sin2θ+cos2θ+2sinθcosθ+sin2θ－cos2θsin2θ+cos2θ+2sinθcosθ+cos2θ－sin2θ

=2sin2θ+2sinθcosθ2cos2θ+2sinθcosθ=2sinθ（sinθ+cosθ）2cosθ（sinθ+cosθ）

=sinθcosθ=tanθ=右边.

规律总结，三角函数化简证明的常用技巧：（1）特殊值与特殊的三角函数进行互化；（2）如果是分式形式，要分别对分母、分子进行变形，有公因式（或数）要提取，进行因式分解、约分；（3）含有根式的要用升幂公式消去根号；（4）充分利用角之间的关系，如互余、互补等或与特殊角建立关系；（5）充分利用“1”代换法，和“1”有关的公式，如tan45°=1，sin2θ+cos2θ=1，等等.

5 结语

以上从几个方面阐述了个人见解，一是从高考站位角度分析，三角函数的化简求值是热点问题，所以，在新高考背景下，具备解决实际问题的能力是摆在师生面前的一门功课.二是从纯数字角之间去找角的关系，这对于大多数学生而言是容易理解和接受的.三是从研究三角函数的图象和性质角度去分析.我们去认知世界，探究知识，不就是为了找寻规律和性质吗？这正是数学这门基础学科所追求的，是化简的精髓.四是从等式角度证明分析.掌握等式的证明方法和技巧可以提高解决问题的能力.三角函数关系式的证明方法多种多样，各显神通，能用多种方法证明是能力的一种体现.