例析放缩问题中的解法探究

【摘要】放缩是解决高中数学问题的常用方法.使用放缩法，通过适当调整能够使原本复杂的问题变为简单的问题.放缩的本质在于找到一个合适的中间量使得某些复杂的项能够消去.本文根据几道例题来谈高中数学中几种特殊的放缩方法，以供参考.

【关键词】放缩；高中数学；解题技巧

方法1 利用递推式对数列放缩

此方法常用于数列问题中，在通过对于数列前几项进行常数微调之后，就可以就此规律对数列的后续项进行同样的微调，但是累积起来就能产生不同的效果，从而达到放缩的目的.

例1 已知a1=1，a2=4，an+2=4an+1+an，bn=an+1an，n∈N*.

（1）求b1，b2，b3的值；

（2）设cn=bnbn+1，Sn为数列cn的前n项和，求证：Sn≥17n；

（3）求证：|b2n－bn|<164×117n－2.

解 （1）易得b1=4，b2=174，b3=7217.

（2）由an+2=4an+1+an，

可得an+2an+1=4+anan+1，

即bn+1=4+1bn，

所以当n≥2时，bn>4，

于是c1=b1b2=17，

cn=bnbn+1=4bn+1>17（n≥2），

所以Sn=c1+c2+…+cn≥17n.

（3）当n=1时，

结论|b2－b1|=14<1764成立；

当n≥2时，|bn+1－bn|=|4+1bn－4－1bn－1|=

bn－bn－1bnbn－1≤bn－bn－117≤bn－1－bn－2172≤…≤b2－b117n－1=14×17n－1.

所以b2n－bn≤bn+1－bn+bn+2－bn+1+…+b2n－b2n－1<14117n－1+117n+…+1172n－2=14×117n－11－117n1－117<164×117n－2，

所以对于任意的n∈N*，b2n－bn<164×117n－2.

评注 递推放缩的关键在于如何对递推式的前几项进行调整，这就需要根据递推式的结构适当地添加或减少一些项，使其在后续的累加或者累乘的过程中能够具有某种特殊的性质，便于运算.

方法2 利用二项展开式放缩

二项展开式放缩是一种较为新颖的放缩形式，适用于指数函数形式的问题，将指数函数中常数进行合理拆分，从而将其写成二项展开式的形式，之后将展开式中的某些项舍去或者每一项都与一确定常数进行比较即可放缩.

例2 已知n∈N*且n≥2，求证：23n&lpBEXViBMJWpKmoklAdhwwA==t;8（n+1）（n+2）.

证明 观察23n的结构可以注意到32n=1+12n=1+C1n·12+C2n·122+…+Cnn·12n≥1+n2+n（n－1）8=（n+1）（n+2）+68>（n+1）（n+2）8，

所以23n<8（n+1）（n+2）.

评注 此方法放缩时需要学生熟悉二项展开式的结构特征，使得放缩后的式子符合题目所需.

方法3 利用单调性对函数放缩

单调性是函数的重要性质之一，对于含自变量的问题也可以从单调性入手构造函数进行研究.在发现构造的新函数的单调性后，对于常数项或者是式子的结构进行调整即可.

例3 求证：12≤1n+1+1n+2+…+1n+n<710（n∈N*）.

证明 令Sn=1n+1+1n+2+…+1n+n，

则Sn+1－Sn=14（n+12）（n+1）>0，

所以数列Sn单调递增，

故Sn≥S1=12，

又因为14n+12（n+1）<14n+14n+54=14×1n+4－1n+54=14n+1－14n+5，

即Sn+14n+1>Sn+1+14n+5，

数列Sn+14n+1单调递减，

所以Sn+14n+1≤S1+14×1+1=710，所以原不等式得证.

评注 能够利用单调性解决的题目一般会有几个特征：一是数列类问题，二则是在将自变量+1之后与原表达式结构上有相似之处的问题，等等，学生需要进行适当的尝试才能够确定是否适合利用此方法.

结语

以上三种方法是放缩的三种较为新颖且实用的方法，学生在使用的过程中要根据题目实际灵活选择，牢记放缩的目的是找到合适的中间量，有时通过简单的常数项调整就能得到所要的放缩式.

参考文献：

[1]万祺.等差、等比思想在数列不等式放缩中的应用——以一道联赛预赛试题为例[J].中学数学月刊，2022（10）：76-77.

[2]林国红.切线放缩在函数双零点问题中的应用[J].数理化解题研究，2022（28）：23-26.

[3]白亚军.求解数列不等式的常见放缩技巧[J].高中数学教与学，2023（09）：21-22+20.