导数在求解三次函数问题中的谬用

【摘要】三次函数是高中阶段体现求导工具型特征的基础性模型，教材中非常重视基于三次函数实现导数在研究函数中的工具价值.用导数求导讨论三次函数单调性、极值点、对称性、拐点、零点等性质并解决三次函数中的某些问题，但要注意用导数在求解三次函数问题中的谬用.

【关键词】三次函数；零点；用导数

高中教材中多次用到三次函数这个模型，通过对三次函数的研究，引导学生积累利用求导来研究函数性质及三次函数.三次函数的相关问题在数学竞赛及高考中也是高频考点.充分利用三次函数单调性、极值点、对称性、拐点、零点等性质可以更好地解决三次函数中的某些问题，但要注意导数在求解三次函数中的谬用.

对三次函数进行一般化的研究， 能更好地把握三次函数模型，体会导数作为工具在解题中的价值，实现从“解题”到“解决问题”的转化，提升数学核心素养.

对三次函数模型的考查，主要是基于以上三次函数的相关性质的分析，借助三次函数这个模型考查导数在研究函数性质中的应用.

1 真题解析

已知实数a，b满足a3+3a2+6a=2，b3+3b2+6b=－10，则a+b=.

分析 本题是以三次函数作为研究对象，考查三次函数的零点的一个问题，其考查的是三次函数fx=x3+3x2+6x+k（k为常数）的零点变化规律，由高等数学[2]REF_Ref10741＼r＼h中导数在函数的单调性与曲线的凹凸性中的应用可知，函数fx=x3+3x2+6x+k是一只有一个零点及一个拐点，单调递增的中心对称图形.

性质 三次函数总可以通过坐标轴的平移成为对称中心在原点的奇函数.

证明 设三次函数fx=ax3+bx2+cx+d（a≠0），

令x=x′－b3a，y=y′+am3+bm2+cm+d，

得y′=a（x′）3+（3am2+2bm+c）x′.

显然在新坐标系下三次函数为对称中心在新坐标原点的奇函数.

因此函数fx=x3+3x2+6x+k，在通过横向平移x=x′－1可以消去平方项，从而使得该函数图象的对称中心落在y轴上，可利用这一性质特征，得如下解法.

2 真题求解

解法1 由f（a）=a3+3a2+6a－2=0，

令a=u－1，

得0=f（u－1）=u3+3u－6=2①，

由f（b）=b3+3b2+6b+10=0，

令b=v－1，

得0=f（v－1）=v3+3v+6②，

①+②得u3+v3+3（u+v）=0，

即（u+v）（u2－uv+v2+3）=0，

对于函数u2－uv+v2+3，

因a≠－1，b≠－1，

故u≠0，v≠0，

故对u2－uv+v2+3简单变形为

v2uv2－uv+1+3v2.

若－1≤uv≤1，则1－uv≥0，

从而u2－uv+v2+3>0；

若uv≥1或uv≤－1，则uv2－uv>0，

从而u2－uv+v2+3也>0.

总之u2－uv+v2+3>0，

从而u+v=0，

故a+b=（u－1）+（v－1）=u+v－2=－2.

解法2 对 a3+3a2+6a－2，

求导得3a2+6a+6=0，

再求导得6a+6=0①，

对b3+7f896e0da788c7921f0c6ed4a243f32c3b2+6b+10，

求导得3b2+6b+6=0，

再求导得6b+6=0②，

①+②得a+b=－2.

3 真题点评

从上述过程来看，显然解法2的过程非常简洁并且也同样得出了a+b=－2这一结果.那么解法2中所采用的方法真的是正确的吗？

解法2中所采用的方法是基于默认了下面的一个结果，即若a是多项式f（x）的一个根，则a也是f′（x）的根.但这一结果显然是错误的.在高等代数课程中我们有下列结果[3]REF_Ref10741＼r＼h.

定理 如果不可约多项式p（x）是多项式f（x）的一个k（k≥1）重因式，那么p（x）是微商f′（x）的k－1重因式.

注意 定理的逆定理不成立.如f（x）=x3－3x2+3x+3，f′（x）=3x2－6x+3=3（x－1）2.

x－1是f′（x）的2重因式，但根本不是f（x）是因式，当然更不是三重因式.

推论 若a是多项式f（x）的k（大于等于1）重根，则a是多项式f′（x）的k－1重根；a是多项式f（2）（x）的k－2重根；a是多项式f（k－1）（x）的单根；而a不再是f（k）（x）的根.

利用这一定理，显然三次函数fx=x3+3x2+6x+k为单调递增且只有一个根（单根），故a满足 f（a）=a3+3a2+6a－2=0，但a不再是f（x）的导函数f′（x）=3x2+6x+6 的根，从而3a2+6a+6≠0.由此可知上述解法2是错误的.

另一方对函数fx=x3+3x2+6x+k（k为常数）求导，所得的导函数为f′（x）=3x2+6x+6，而k的变化即意味着函数的图象进行上下移动，这时它与x轴的交点的横坐标（即相应函数的根）也在相应变化.但上述方法所得结果与常数项k的取值无关，显然这是错误的.而所得的a+b也等于-2，纯粹是一个巧合.

4 结语

通过上述分析，围绕三次函数的命题可以借助于三次函数的单调性、极值、零点、拐点、中心对称等性质结合图象来考虑，也可结合运用求导的手段进行适当的应用，但不可犯类似于解法2中的方法错误.

参考文献：

[1]吴志峰.三次函数的图像与性质探密[J].广东教育（高中版），2022（10）：33-35.

[2]同济大学数学科学学院.高等数学 第八版 上册[M].北京：高等教育出版社，2023.

[3]北京大学数学系前代数小组.高等代数 第五版[M].北京：高等教育出版社，2019.