品析数学运算素养在破解高考数学压轴题中的应用

【摘要】本文介绍高考评价体系关于数学核心素养三个层级的逻辑关系.通过对一道高考数学压轴题的一题多解，多角度、全方位解析数学运算素养在解题中的运用.以及分析该素养的学业水平质量划分.

【关键词】高中数学；核心素养；解题技巧

1 引言

高考数学坚持立德树人的教学导向，突显对必备知识、关键能力和核心素养的考查.本文将以2022年高考数学甲卷理科第21题为例进行品析，旨在共同把握新高考数学的考试方向.

2 数学运算素养在解题中的应用

例 （2022年甲卷理科第21题）已知函数f（x）=exx－lnx+x－a，若f（x）≥0，求a的取值范围.

数学运算素养是指在明晰运算对象的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.主要包括以下六个步骤.

①理解运算对象：本题的运算对象归结为求函数的最值.

②掌握运算法则：用导数的方法求函数的最值，所以运算法则以导数的运算为主.

③探究运算思路：通过分离参数，转化为不等式恒成立问题.基于函数思想，构造新函数，去求新函数的最值（核心环节，也是最有文章可做的环节）.

④选择运算方法：可预见主要的运算方法有和、差、商的求导法则，通分以及因式分解.

⑤设计运算程序：分离参数—构造新函数—研究单调性—求最值—求得范围.

⑥求得运算结果：由恒成立的原理求得参数的范围.

解法1 f（x）≥0exx－lnx+x－a≥0a≤exx－lnx+x.

设h（x）=exx－lnx+x≥（x>0），

则h′（x）=ex+xx－1x2.

因为x>0，

所以ex+x>0，x2>0.

因此，当x∈0，1时，h′（x）<0，h（x）单调递减；

当x∈1，+∞时，h′（x）>0，h（x）单调递增；

此时h（x）min=h（x）极小值=h（1）=e+1，

故a的取值范围是－∞，e+1.

点评 判断构造的新函数的导数符号是本题的难点和关键所在.通分后涉及因式分解的分组分解法，不少考生不习惯或者不够熟练.若能顺利完成通分后分子的因式分解，并且注意到函数的定义域为0，+∞，则问题就不难解决了.这里显然需要较好的数学运算素养.

解法2 f（x）=exx－lnx+x－a=ex－lnx+x－lnx－a≥0a≤ex－lnx+x－lnx.

令u（x）=x－lnx（x>0），

则u′（x）=1－1x=x－1x（x>0）.

当x∈0，1时，u′（x）<0，u（x）单调递减；

当x∈1，+∞时，u′（x）>0，u（x）单调递增；

所以u（x）≥u（1）=1.

令v（u）=eu+u（u≥1），则v（u）在［1，+∞）上为增函数.

所以vmin（u）=v（1）=e+1，

故a≤e+1.

点评 通过“同构”的方法，实现函数的形式化复杂为简单.转化为u（x）=x－lnx（x>0），其最值容易求得，v（u）=eu+u（u≥1）的单调性明显.但是“同构”是基于学生对指数和对数运算熟练的基础上的，对数学运算素养要求是比较高的，并不容易想到.笔者以为其难在对对数恒等式alogaN=N，特别是对elnN=N的认识.

解法3 f（x）=exx－lnx+lnex－a=exx+lnexx－a≥0a≤exx+lnexx.

令u（x）=exx（x>0），

则u′（x）=exx－exx2=exx－1x2（x>0）.

当x∈0，1时，u′（x）<0，u（x）单调递减；

当x∈1，+∞时，u′（x）>0，u（x）单调递增；

所以u（x）≥u（1）=e，

令v（u）=u+lnu≥（u≥e），

则v（u）在e，+∞上为增函数，

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所以vmin（u）=v（1）=e+1，

故a≤e+1.

点评 通过同构的方法，实现函数的形式化复杂为简单.转化为u（x）=exx（x>0），其最值容易求得，v（u）=u+lnu（u≥e）的单调性明显.本解法的难点在于同构的过程，即指数式与对数式互化以及对数的运算性质.

解法4 先证ex≥x+1，当且仅当x=0时，取等号.

令g（x）=ex－x－1，

则g′（x）=ex－1.

当x∈－∞，0时，g′（x）<0，g（x）单调递减；

当x∈0，+∞时，g′（x）>0，g（x）单调递增；

所以g（x）≥g（0）=0，

故ex≥x+1，当且仅当x=0时，取等号得证.

对不等式ex≥x+1用lnx代替不等式中的x，则当x>0时，x≥1+lnx（当且仅当x=1时，取等号），用x－1代替不等式中的x得到ex-1≥x（当且仅当x=1时，取等号），所以ex≥ex（当且仅当x=1时，取等号），所以当x>0时，－lnx+x≥1，且exx≥e（当且仅当x=1时，取等号），故exx－lnx+x≥e+1（当且仅当x=1时，取等号），从而a≤e+1.

点评 本解法由“二级结论”ex≥x+1x≥lnx+1，ex≥x+1ex－1≥xex≥ex，

ex≥exexx≥e①， x≥lnx+1x－lnx≥1②.

利用不等式基本性质和①②取等号的条件相同，exx－lnx+x≥e+1，当且仅当x=1时，取等号.记住数学的某些“二级结论”对于速解选填题很有效，但是解答题中使用前务必先证明.

本解法通过添减项，然后分别求两个函数的最值（都比较易于求得最值），发现两个函数取得最值的条件相同，问题不难解决.

3 结语

学科核心素养被称为继课程改革之后基础教育最重要的研究成果，它在综合了国外已有经验的基础上，对国内的总体教学以及学科教学提出了新的理念与认识.就数学学科而言，其既沿袭了传统数学教学中的精髓，又融入了新的理解.本文通过具体例题的讲解，帮助学生更好地理解运算法则，明确运算方向，进而达到数学运算素养的要求.

参考文献：

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[2]宋方宁，李硕.聚焦数学思想 贯彻核心素养——以“函数的奇偶性”的教学设计为例[J].数理化解题研究，2024（12）：2-4.

[3]刘宏.核心素养视域下高中数学情境化教学策略研究[J].理科爱好者，2024（02）：115-117.