巧用构造法解答高中数学试题

【摘要】解题训练在理科学科教学中占据着重要地位，不仅能够帮助学生练习运用所学知识解题，还可以让他们在解题实践中发现个人薄弱之处，使其有针对性地加强训练.在高中数学解题训练中，教师除介绍一些常用解题方法，还需指引学生巧用构造法，增强他们的解题能力.

【关键词】构造法；高中数学；解题技巧

构造法就是当处理部分数学试题时，采用定向思路与常规方法遇到障碍，可以结合题干中出现的已知条件与所求结论从新视角展开研究，根据这些信息之间存在的内在关联构造出满足已知条件与所求结论的数学对象，由此降低原题难度.高中数学教师在平常的解题训练中可指导学生巧用构造法，使其通过构造出新的数学对象找到简便方法，顺利解答试题.

1 巧用构造法解答方程试题

构造方程法即通过方程知识解答试题.在高中数学解题训练中，当试题中出现显著的数量关系或者结构特征时，教师可引导学生巧用构造方程的方法得到等量关系，借助未知数将抽象部分转化为新的数学形式，从而把原题变得简单，让学生结合新式子的相关特征及知识顺利解答试题.

例1 已知方程（u－i）2－4（i－x）2（x－u）=0，请证明：u，i，x能够组成一个等差数列.

分析 在本试题中，能够直接运用构造法展开分析和解题，认真观察题干中给出的方程式，根据等量关系构造出新式子，通过观察看到原方程与已经学过的二次函数中Δ=b2－4ac比较类似，故可据此确定解题方案与思路，结合函数及方程相关知识来解答试题.

证明 如果方程（i－x）t2+4（u－i）t+（x－u）=0，

则Δ=（u－i）2－4（i－x）（x－u），

又因为方程（u－i）2－4（i－x）2（x－u）=0成立，

所以Δ=0，

由此说明方程（i－x）t2+4（u－i）t+（x－u）=0只存在一个实数根，

则t=1，

根据韦达定理可以得到：

x1+x2=－u－ii－x=12，

所以i+x=2u，

从而证明u，i，x能够组成一个等差数列.

2 巧用构造法解答函数试题

不少高中数学试题都涉及函数知识，教师应引导学生巧妙采用构造法处理函数类试题，使其借助构造法优化解题思路，将复杂化的试题转变为简单形式，找到简便算法，有效降低解题难度，最终顺畅解答试题.

例2 已知（x+2y）5+x5+2x+2y=0，那么x+y的值是什么？

分析 解答本题可采用构造函数的方法，因为在原式中出现两类未知数x与y，且是高次幂，直接求解的话难度较大，需对该式子进行仔细分析，找到存在的函数关系，构建等式，完成解题.

详解 原式可移项变形为：

（x+2y）5+（x+2y）=－（x5+x），

设函数f（t）=t5+t，该函数为一个奇函数，

所以f（x+2y）=－f（x）=f（－x），

由此得到x+2y=－x，

则2x+2y=0，

所x+y的值是x+y=0.

3 巧用构造法解答数列试题

在高中数学课程教学中，数列也是一类较为重要的内容，以常见的等差和等比这两种数列为主，也是高考中必考点之一.数列呈现出的规律比较特殊，题干中往往能够清晰展示题目特点.在高中数学数列解题训练中，教师可指导学生结合实际问题特征巧用构造法，将递进公式展开变形，使学生根据概念确定数列具体类型，顺畅解题.而且教师应提示学生根据具体问题构造等差或者等比数列，让他们能够结合数列的实际性质轻松解答试题.

例3 已知数列an中，a1=5，a2=2，a3=2an－1+3an－2，且（n≥3），那么数列an的通项公式是什么？

分析 这是一类比较常见的数列题目类型，题干中提供一些项的值和等量关系，要求的则是数列通项公式，如果使用直接求解法的话极易出错，不过可以巧用构造法，结合题干中提供信息和条件展开适当变化和构造，继而找到清晰、简便的解题方案.

详解 因为a3=2an－1+3an－2，

所以an+an－1=3（an－1+an－2），

又因为a1+a2=5+2=7，

所以{an+an－1}就是一个以7为首项，3为公比的等比数列，

即为an+an－1=7×3n－1①，

因为an－3an－1=－（an－3an－2），

a2－3a1=2－3×5=2－15=－13，

所以{an－3an－1}就是一个以－13为首项，－1为公比的等比数列，

即为an－3an－1=（－13）（－1）n－1②，

然后令①×3＋②能够得到：

4an=7×3n－1+13（－1）n－1，

所以an=74×3n－1+134（－1）n－1.

4 巧用构造法解答图形试题

在高中数学解题教学中，处理解析几何或者立体几何类的问题时，教师可以引导学生把构造法同数形结合思想有机整合在一起，按照题目中的数量关系对图形展开构造，使学生结合直观化的图形分析抽象化的数学问题，由此降低解题难度，辅助学生准确、快速地求得问题答案.

例4 已知α，β，γ都是锐角，且满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，请证明：tanα·tanβ·tanγ≥22.

分析 由于α，β，γ均为锐角，故可以构造一个长方体，将这三个角视为一条对角线（长为1）与相邻3个面的夹角，用长方体的一顶点上3条棱a，b，c来表示tanα，tanβ，tanγ，再采用均值不等式a2+b2≥2ab完成证明.

证明 通过观察与联想根据题意可构造一个长方体ABCD－A1B1C1D1，如图1所示，把α，β，γ视为一条对角线（长为1）与相邻3个面的夹角，将该顶点的三条棱设为a，b，c，则在该长方体中，a2+b2+c2=12，

所以（a1）2+（b1）2+（c1）2=1，

因为α，β，γ均为锐角，

且cos2α+cos2β+cos2γ=1，

令a1=cosα，b1=cosβ，c1=cosγ，

则tanα=b2+c2a≥2bca，

tanβ=a2+c2b≥2acb，

tanγ=a2+b2c≥2abc，

所以tanα·tanβ·tanγ≥22.

5 结语

总的来说，在高中数学解题活动中，教师应深刻了解构造法的功效，带领学生以理解构造法的内涵为前提展开解题练习，使其根据不同试题特征灵活使用构造法，结合题设中的条件与结论构造出符合解题需求的数学对象，让学生高效完成试题的解答，为高考作准备.

参考文献：

[1]代建广.构造法在高中数学解题训练中的应用技巧[J].数理天地（高中版），2023（15）：43-44.

[2]张宏敏.应用构造法在高中数学中的解题策略[J].数理天地（高中版），2022（18）：49-51.