高中数学中三角函数的解题方法探析

【摘要】基于新课标的高中数学教学中，针对三角函数的教学，教师明确三角函数题目的形式多样、内容丰富，涉及诸多的三角函数公式，解题方法灵活运用，也存在一定的规律.本文基于以往三角函数的解题方法教学的问题，通过运用实践探究法，提出三角函数的解题方法：利用角之间关系的凑角法，基于高次三角式的降幂法，有效转换式结构的换元法，涉及含参与正负的讨论法，根据已知的数据的猜想法.教师指导学生运用这些解题方法，能提高学生解题能力，培养学生数学思维方法，发展学生数学核心素养，提高三角函数的教学效果.

【关键词】高中数学；三角函数；解题方法

1 引言

三角函数是高中数学课程中非常重要的一部分，通过深读近年来的全国高考数学真题，很多大题直接或者间接融入了三角函数的解题方法.三角函数也是高中数学的难点知识，涉及非常多的公式定理、解题原理、解题方法，对学生的数学思维和运算能力等提出了较高要求.因此，在新课标与新高考背景下，高中数学教学中，教师要重点指导学生三角函数的解题方法，加强解题方法的训练，帮助学生快速、准确、科学解答各类三角函数题目[1].

2 高中数学中三角函数的解题方法

2.1 利用角之间关系的凑角法

在高中数学三角函数题目中，求值问题非常常见.一些求值问题能通过观察角之间的关系，并全面运用这种角之间关系凑出特殊角，以此快速解题.

例1 求tan20°+4sin20°的值.

教师先带领学生回顾三角求值方法，重点是消除函数名称、式子结构、角度之间差异，再观察本题特点，明确要消除特殊角和非特殊角间的差异.所以教师先让学生自主试着解答，再指导解析.

原式

=sin20°+2sin40°cos20°=sin20°+2sin（60°－20°）cos20°

=sin20°+2（sin60°cos20°-cos60°sin20°）cos20°

=3，

教师引领学生利用角之间的关系，分析三角函数的题目结构，运用凑角法变化式子结构，逐步地解决问题，以此发挥凑角法的重要价值.教师还要引入更多相似类型的题目，要求学生通过观察三角函数式子结构，利用凑角法进行解答.

2.2 基于高次三角式的降幂法

在三角函数的题目中，通常还有一些涉及高次三角式的求值题.对于这类题，教师指导学生运用降幂法解题，是根据已知和sin2α+cos2α+1，或者是降幂公式sin2α=1－cos2α2，cos2=1+cos2α2等降幂对策进行解答.

例2 若cosα+cos2α=1，求sin2α+sin6α+1的值.

教师先让学生认真分析原式，思考解题策略，有的学生说求出cosα的值后代入，教师提醒学生这样导致运算量很大，降低解题效率，要学会降幂.

教师引领学生运用降幂法解答，最后得出结果是：35－52.

教师还要引入更多高次三角式的求值类型的题目，要求学生基于

所学三角式的基础知识，运用降幂法进行解答，以此让学生在解

题中更好熟悉降幂法，最后进行总结，以此有效提高这类题的解

题能力.

2.3 有效转换式结构的换元法

换元法是常用的解题方法，在给值求值问题中，题目所给是单角的某一三角函数值，用换元法能将原式转化为熟悉的已知单角的三角函数值求值问题.

例3 sinα+75°+cosα+45°－3α+15°的值.

对于这个题目，教师要指导学生根据三部分式子用换元法解答.

令α+15°=β，

原式=sin（β+60°）+cos（β+30°）-3cosβ=（sinβcos60°+cosβsin60°）+（cosβcos30°-sinβsin30°）-3cosβ=0.

教师还要引入类似题目，教师还要引入类似题目，比如已知

教师指导学生注重联系已学知识，基于换元法进行解答。教师还可以通过设问的方式进行提

示，比如“设t等于什么进行换元”，以此可以更好让学生掌握换元法，解答涉及较多数值

的三角函数题，提高学生解题能力.

2.4 涉及含参与正负的讨论法

在三角函数题中，还有一些涉及含有参数或者正负数情境的题目，学生解题过程中容易出现问题，教师要指导学生运用讨论法进行分析和解题[2].

例4 已知△ABC中，sinA=513，cosB=45，求cosC.

教师先让学生审读本题，明确分类讨论法要基于问题化整为零、化难为易、化简为繁，

根据本题先求出cosA，通过验证明确cosA=1213，符合题意，

最后求得cosC=－3365.

2.5 根据已知的数据的猜想法

猜想法也是数学解题中非常重要的思想方法，针对三角函数问题，需要根据已知数据的特点进行合理猜想，这样可以更好解决求值问题.

例5 已知sinα+cosα=1-32，且α是第二象限角，那么sinα= .

教师指导学生根据原题合理猜想，最后求得sinα=12.

3 结语

综上所述，基于新课标的课程理念，结合高中数学三角函数教学的情况，本文提出了5种解题方法，教师要根据学生的数学基础和认知情况，指导学生合理运用这些解题方法，让学生明确其中的原理，探究蕴含的数学思想，这样能更好提高学生思维能力和解题能力，更好地提升三角函数的教学效果.

参考文献：

[1]李雨轩.高中数学三角函数解题方法的总结与思考[J].高考，2019（03）：174-175.

[2]徐丽.高中数学三角函数的解题技巧之我见[J].求知导刊，2019（38）：82-83.