聚焦导数试题中的典型易错问题

【摘要】导数问题是高考试题中的必考问题.本文主要聚焦导数试题中的易错问题，并对易错点进行分析和解读.

【关键词】高中数学；导数；切线；单调性

导数问题是高考试题中的重中之重，也是许多教师和学生研究的重点知识.由于该类试题的难度较大，求解时极易出错，因此在求解时需要格外谨慎.本文通过对导数试题中的典型问题进行分析，并对各类试题中常易出错的地方进行点评，以防掉入陷阱[1].

1 混淆曲线在某点的切线与过某点的切线致误

例1 若存在过点（1，0）的直线与曲线y=x3和y=ax2+154x－9都相切，则a等于（ ）

（A）－1或－2564. （B）－1或214.

（C）－74或－2564.（D）－74或7.

解析 因为y=x3，

所以y′=3x2，

设过点（1，0）的直线与y=x3相切于点（x0，x30），则在该点处的切线斜率为k=3x20，

所以切线方程为y－x30=3x20x－x0，

即y=3x20x－2x30.

又点（1，0）在切线上，

所以x0=0或x0=32.

当x0=0时，切线方程为y=0.

由y=0与y=ax2+154x－9相切可得a=－2564.

当x0=32时，

切线方程为y=274x－274，

由y=274x－274与y=ax2+154x－9相切，可得a=－1.

综上，a的值为－1或－2564.

易错点分析 在解决曲线的切线问题时，一定要注意区分“过点Ax0，y0的切线方程”与“在点A处的切线方程”的不同.“过点A和在点A”虽只有一字之差，意义完全不同，“在”说明这点就是切点，“过”只说明切线过这个点，这个点不一定是切点.

2 单调性问题转化不当致误

例2 设函数f（x）=－13x3+12x2+ax.

（1）若f（x）在23，+∞上存在单调递增区间，求a的取值范围；

（2）若f（x）在23，+∞上单调递减，求a的取值范围.

解析 （1）f′（x）=－x2+x+a=－x－122+14+a，

当x∈23，+∞时，

f′（x）max=f′23=29+a，

则当x∈23，+∞时，令29+a>0，

得a>－29.

所以，当a>－29时，f（x）在23，+∞上存在单调递增区间.

（2）由（1）得，当x∈23，+∞时，

f′（x）max=f′23=29+a，

则当x∈23，+∞时，令29+a≤0，

得a≤－29.

所以，当a≤－29时，f（x）在23，+∞上单调递减.

易错分析 函数y=fx在区间D上单调可以转化为恒成立问题；函数y=fx在区间D上存在单调区间可以转化为能成立问题；函数y=fx在区间D上不单调可以转化为变号零点问题．这三种情况由于理解不到位容易混淆.

3 分类讨论时“界点”确定不当致误

例3 已知函数fx=ax－1x，gx=lnx，a∈R是常数．

（1）求函数y=gx的图象在点P1，g1处的切线方程；

（2）设Fx=fx－gx，讨论函数F（x）的单调性．

解析 （1）因为gx=lnx，

所以g1=0，g′x=1x，g′1=1

故函数gx的图象在P1，g1处的切线方程是y=x－1.

（2）因为Fx=fx－gx=ax－1x－1nxx>0，

所以F′=x=a+1x2－1x=a+1x－122－14.

①当a≥14时，F′x≥0，Fx在0，+∞上单调递增；

②当a=0时，F′x=1－xx2，Fx在（0，1）上单调递增，在1，+∞上单调递减；

③当0<a<14时，由F′x=0，得x1=1－1－4a2a>0，x2=1+1－4a2a>0，且x2>x1，

故F（x）在0，1－1－4a2a，1+1－4a2a，+∞上单调递增，在1－1－4a2a，1+1－4a2a上单调递减；

④当a<0时，由F′x=0，

得x1=1－1－4a2a>0，x2=1+1－4a2a<0（舍去），

F（x）在0，1－1－4a2a上单调递增，在1－1－4a2a，+∞上单调递减．

易错分析 利用导数研究函数的单调性，容易对参数的讨论不全致误.其中分类界点的确定主要为以下4类：根据二次项系数确定分类“界点”，根据判别式确定分类“界点”，根据导函数零点的大小确定分类“界点”，根据导函数零点与定义域的关系确定分类“界点”.

4 忽视“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”的区别致误

例4 已知函数fx的图象与函数hx=x+1x+2的图象关于点A（0，1）对称．

（1）求fx的解析式；

（2）若gx=fx+ax，且gx在区间0，2上为减函数，求实数a的取值范围．

解析 （1）设fx图象上任一点Px，y，则点P关于（0，1）点的对称点P′－x，2－y在hx的图象上，

即2－y=－x－1x+2，

所以y=fx=x+1xx≠0．

（2）gx=fx+ax=x+a+1x，

所以g′x=1－a+1x2.

因为gx在0，2上为减函数，

所以1－a+1x2≤0在0，2上恒成立，

即a+1≥x2在（0，2]上恒成立，

所以a+1≥4，即a≥3.

故实数a的取值范围是3，+∞．

易错分析 求函数f（x）的单调递减区间的方法是解不等式f′（x）<0，求函数f（x）的单调递增区间的方法是解不等式f′（x）>0.解题时要注意“函数的单调区间”与“函数在区间上单调”的区别，勿因对题意的理解不明出错.

参考文献：

[1]陈国林.发挥导数工具作用，正确处理函数性质[J].中学生数理化（高中版），2021（09）：21-23.