离心率取值范围的破解策略

【摘要】圆锥曲线中的离心率的取值、最值或取值范围等问题是高考命题的一个重要方向．本文结合实例，就几何法、函数法、不等式法等剖析破解离心率的取值范围问题的几种常见技巧策略，总结解题方式，拓展解题思维，归纳解题规律，指导师生的数学教学与学习以及解题研究．

【关键词】高中数学；离心率；椭圆；双曲线

离心率是一个反映圆锥曲线形状的几何量，是圆锥曲线统一定义的桥梁与纽带．圆锥曲线中椭圆（或双曲线）的离心率的取值范围的求解问题，一直是圆锥曲线模块知识考查的热点问题，常考常新，方式多变，综合性强，难度较大．本文就对解离心率的取值范围问题的一些常见解题技巧策略加以总结与归纳，结合实例加以剖析与应用，以帮助学生突破学习难点和瓶颈，抛砖引玉．

1 几何法

根据题设条件中曲线所对应图形的几何性质，结合平面几何中的相关知识合理构建对应的不等式，进而得以确定椭圆或双曲线中参数a，b，c之间的不等式关系，结合离心率的定义得到对应的不等式及其取值范围．

例1 已知P是以F1，F2为左、右焦点的椭圆x2a2+y2b2=1a>b>0上一点，若∠F1PF2=120°，则该椭圆的离心率的取值范围是．

分析 抓住椭圆所对应曲线图形的几何性质，当动点P在椭圆长轴端点处沿椭圆弧向短轴端点运动时，P对两个焦点的张角∠F1PF2逐渐增大，当P点位于短轴端点P0处时，∠F1PF2最大，通过平面几何思维来切入，利用直角三角形所对应的三角函数定义来确定离心率的取值范围．

解 根据椭圆图形的几何性质，可知当点P为椭圆的短轴顶点（不妨设上顶点为A）时∠F1PF2最大，由于存在点P为椭圆上的一点，使得∠F1PF2=120°，

所以在△AF1F2中，∠F1AF2≥120°，

那么在Rt△AOF2中，∠OAF2≥60°，

结合三角函数的定义有：

e=ca=sin∠OAF2≥sin60°=32，

又0<e<1，则有32≤e<1，

即该椭圆的离心率的取值范围是32，1，

故填答案：32，1．

2 函数法

根据题设条件中相关参数的取值范围或隐含相关变量的取值范围，合理构建离心率与对应参数（或变量）间的函数关系式，通过函数思维与方法，利用函数的图象与性质、函数与方程、函数与导数等方法来求出离心率的取值范围．

例2 ［2023届湖南省长沙市雅礼中学高三上学期月考（四）（2022年12月）数学试题］设F1，F2同时为椭圆C1：x2a2+y2b2=1a>b>0与双曲线C2：x2a21-y2b21=1a1>0，b1>0的左、右焦点，设椭圆C1与双曲线C2在第一象限内交于点M，椭圆C1与双曲线C2的离心率分别为e1，e2，O为坐标原点，若F1F2=4MF2，则e1e2的取值范围是．

分析 根据圆锥曲线的定义构建相关参数的关系式或不等式，结合参数间的关系，将两离心率的乘积表示成对应的函数表达式，利用消参转化为单参函数问题，以函数思维来解决对应的取值范围问题．

解 因为F1F2=4MF2，

即2c=4MF2，则有MF2=12c，

由椭圆的定义可得：

MF1=2a－MF2=2a－12c，

由双曲线的定义可知0<2a1=MF1－MF2=2a－－12c－12c=2a－c<2c（三角形的基本性质：三角形两边之差小于第三边），

则有2a<3c，所以e1=ca>23，

即e1∈23，1，亦即1e1∈1，32，

又e2=2c2a1=2c2a－c=2e12－e1，

所以e1e2=2e212－e1=22e21－1e1=

221e1－142－18∈23，2，

故填答案：23，2．

3 不等式法

根据题设条件中的参数a，b，c之间的不等关系式的构建，或其他已知相关参数得到涉及离心率的不等式等，进而通过不等式的基本性质、不等式（组）的求解等方法来求出离心率的取值范围．

例3 过椭圆C：x2a2+y2b2=1a>b>0的左顶点A且斜率为k的直线交椭圆C于另一点B ，且点B在x轴上的射影恰好为右焦点F，若16<k<13，则椭圆C的离心率的取值范围是．

分析 直接“翻译”题设条件，通过点的坐标的确定，并利用直线的斜率公式构建参数k的关系式，通过题设中不等式条件来分析与求解，得以确定离心率的取值范围．

解 依题可得左顶点A－a，0，右焦点Fc，0，将x=c代入椭圆的方程，

可得c2a2+y2b2=1，

解得y=±b2a，可得点Bc，±b2a，

结合直线的斜率公式，可得直线AB的斜率为

k=±b2ac+a=±b2aa+c=±a2－c2aa+c

=±a－ca=±1－e，

而16<k<13，0<e<1，

则有16<1－e<13，

解得23<e<56，所以椭圆C的离心率的取值范围是23，56，

故填答案：23，56．

4 结语

破解离心率的取值范围问题，关键就是充分分析与理解题目，从圆锥曲线的定义入手，结合曲线图形的直观，通过参数的函数、不等式的构建等方式，利用函数思维或不等式思维，以及其他相关知识来综合应用．在实际破解此类问题时，有时一种解题技巧策略独领风骚，有时多种技巧策略齐心协力，共同协作，综合应用，从而实现问题的化归与转化，有效化陌生为熟悉，得以有效破解离心率的取值范围问题．