初中数学勾股定理中垂美四边形问题探究

【摘要】垂美四边形问题作为初中数学中的一个经典几何问题，对于学生理解勾股定理的几何意义和应用具有重要的教育价值.本文以勾股定理为基础，深入探究垂美四边形问题的定义、特性以及证明方法.通过实例分析详细探究垂美四边形的特征和性质，如对角线长度与面积之间的关系、对边长度的关系等，帮助学生更好地掌握并应用垂美四边形问题.

【关键词】勾股定理；垂美四边形；初中数学

勾股定理作为初中数学的重要内容，也是数学中的经典定理之一.在学习勾股定理的过程中，我们通常会遇到一些相关的问题，其中垂美四边形问题是一个非常有趣且具有启发性的数学问题.垂美四边形是指一个四边形的对角线相互垂直.本文旨在探究垂美四边形的性质和特点，以及与勾股定理之间的联系.

1 垂美四边形对边的性质

垂美四边形对边的一个重要性质为：若四边形的对角线互相垂直，那么其对边的平方和相等.

例1 如图所示，把对角线互相垂直的四边形叫做“垂美四边形”.

（1）性质探究：如图1，已知四边形ABCD中，AC⊥BD，垂足为O，求证：AB2+CD2=AD2+BC2.

（2）解决问题：已知AB=5，BC=4，分别以△ABC的边BC和AB向外作等腰Rt△BCQ和等腰Rt△ABP.如图2，当∠ACB=90°，连接PQ，求PQ的长.

分析 图中若有垂线，应首先考虑勾股定理的应用，运用勾股定理可得结论；如图2，过点P作PD⊥BQ，交QB的延长线于点D，利用勾股定理可得AC的长度，再证得△ABC≌△PBDAAS，得出PD，BD，BC，DQ的长度，运用勾股定理即可求得答案.

解 （1）证明 因为AC⊥BD，垂足为O，如图1所示，

所以AB2=OA2+OB2，CD2=OC2+OD2，AD2=OA2+OD2，BC2=OB2+OC2，

所以AB2+CD2=OA2+OB2+OC2+OD2，AD2+BC2=OA2+OB2+OC2+OD2，

所以AB2+CD2=AD2+BC2.

（2）如图2所示，过点P作PD⊥BQ，交QB的延长线于点D，则∠BDP=90°.

因为∠ACB=90°，

所以AC=AB2－BC2=52－42=3.

因为△BCQ和△ABP都是等腰直角三角形，

所以∠CBQ=∠ABP=90°，BQ=BC=4，BP=BA，

所以∠CBD=180°－∠CBQ=180°－90°=90°，

则∠ABC+∠ABD=90°，

又因为∠PBD+∠ABD=90°，

所以∠ABC=∠PBD，

因此∠ACB=∠PDB=90°，

所以△ABC≌△PBDAAS，

所以PD=AC=3，BD=BC=4，

DQ=BD+BQ=4+4=8，

在Rt△PQD中，

PQ=PD2+DQ2=32+82=73.

本题涉及全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质以及勾股定理.解答垂美四边形问题需要正确理解垂美四边形的定义，并且灵活运用勾股定理.通过研究和应用这些几何概念和定理，学生能够深入理解几何形状之间的关系，并培养解决几何问题的能力.

2 垂美四边形对角线的性质

垂美四边形对角线的一个重要性质为：若四边形的对角线互相垂直，那么四边形的面积等于对角线乘积的一半.

例2 小明学习了平行四边形这一章后，对特殊四边形的探究产生了兴趣，发现另外一类特殊四边形，如图3.

（1）性质探究：通过探究，直接写出垂美四边形ABCD的面积S与两对角线AC，BD之间的数量关系：.

（2）问题解决：如图4，分别以Rt△ACB的直角边AC和斜边AB为边向外作正方形ACFG和正方形ABDE，连接CG，BE，GE，已知AC=4，AB=5.

①求证：四边形BCGE为垂美四边形；

②求出四边形BCGE的面积.

解 （1）如图3所示，因为四边形ABCD的面积=S△ABC+S△ADC=12AC·BO+12AC·DO=12ACBO+DO=12AC·BD.

（2）①证明 连接CG、BE，AB、CE相交于点M，如图4所示.

因为四边形ACFG和四边形ABDE是正方形，

所以∠F=∠CAG=∠BAE=90°，FG=AG=AC=CF，

AB=AE，

所以∠CAG+∠BAC=∠BAE+∠BAC，

即∠GAB=∠CAE，

在△GAB和△CAE中，AG=AC∠GAB=∠CAE，AB=AE

所以△GAB≌△CAESAS，

故BG=CE，∠ABG=∠AEC，

又因为∠AEC+∠AME=90°，

∠AME=∠BMN，

所以∠ABG+∠BMN=90°，

∠BNM=90°，

所以BG⊥CE，四边形BCGE为垂美四边形，得证.

②因为FG=CF=AC=4，

∠ACB=90°，AB=5，

所以BC=AB2－AC2=3，

所以BF=BC+CF=7，

在Rt△BFG中，

BG=BF2+FG2=72+42=65，

所以CE=BG=65，

所以四边形BCGE的面积=12BG·CE=652.

本题主要考查垂美四边形的判定与性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理的应用.正确理解垂美四边形的定义和灵活运用勾股定理是解题的关键.

3 结语

垂美四边形作为一个经典的数学问题，展示了数学中的美妙.通过研究垂美四边形，我们不仅加深了对勾股定理的认识，还培养了学生的逻辑思维和问题解决能力，为初中数学教学提供了一些新的思路和方法.

参考文献：

[1]王浩.对角线互相垂直的四边形的两个性质[J].数理天地（初中版），2022（01）：26-27.

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