善于挖掘“隐圆”，巧解最值问题

【摘要】中考试题中的小压轴题常常以平面几何的最值问题呈现.平面几何的最值问题中，常常考查以“隐圆”为背景的试题.要解决这类试题，需要根据题意挖掘“隐圆”，然后利用圆的性质，有时也会结合轴对称、三角形的相似或全等、两点之间线段最短等性质求解.

【关键词】平面几何；最值问题；隐圆

含有“隐圆”的平面几何最值问题，主要涉及两类题型.题型1是动点为直角三角形的直角顶点[1]，即已知A，B是定点，P是动点，且∠APB=90°.这时点P的运动路径是以AB为直径的圆（或半圆）.题型2是三角形中边长固定的边所对的角为定角，即已知A，B是定点，P是动点，且∠APB是定值，这时点P的运动路径是以AB为弦的圆.

在求解平面几何最值的过程中，要认真审题，善于挖掘题目中的“隐圆”，然后根据圆的几何性质与相关平面几何知识求解，可缩短解题时间、提高解题效率[2].

题型1 动点为直角三角形的直角顶点

例1 如图1，正方形ABCD的边长为4，点E是正方形ABCD内的动点，点P是BC边上的动点，且∠EAB=∠EBC．连接AE，BE，PD，PE，则PD+PE的最小值为（ ）

（A）213－2. （B）45－2.

（C）43－2.（D）215－2.

分析 先证明∠AEB=90°，即可得点E在以AB为直径的半圆上移动，设AB的中点为O，作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，连接FO交BC于P，交半圆O于E，根据对称性有PD=PF，则有PE+PD=PE+PF，则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值，问题随之得解．

解析 因为四边形ABCD是正方形，

所以∠ABC=90°，

所以∠ABE+∠EBC=90°.

因为∠EAB=∠EBC，

所以∠EAB+∠EBA=90°，

所以∠AEB=90°，

所以点E在以AB为直径的半圆上移动，如图2，设AB的中点为O，

作正方形ABCD关于直线BC对称的正方形CFGB，则点D的对应点是F，

连接FO交BC于点P，交半圆O于点E，

根据对称性有PD=PF，

则有PE+PD=PE+PF.

则线段EF的长即为PE+PD的长度最小值.

因为∠G=90°，FG=BG=AB=4，

所以OG=6，OA=OB=OE=2，

所以OF=FG2+OG2=213，

所以EF=OF－OE=213－2，

故PE+PD的长度最小值为213－2.

故选（A）．

点评 本题考查了轴对称、最短路线问题，正方形的性质和勾股定理等.根据题意得出点E的运动路线是以AB为直径的半圆是解题的关键，然后根据对称性，利用最短路线问题求出最值即可.

题型2 三角形中边长固定的边所对的角为定角

例2 如图3，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP的最小值 ．

分析 由题意可知，∠AGB=90°，可得∠APB=12∠AGB=45°，可知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，要使DP最小，则点P要靠近点D，即点P在AB的右侧.

解析 设EF与BG交于点H，因为B，G关于EF对称，

所以BH=GH，且EF⊥BG.

因为E为AB中点，则EH为△ABG的中位线，

所以EH∥AG，

所以∠AGB=90°.

因为∠APB=12∠AGB，

即∠APB=12∠AGB=45°，

所以点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上，要使DP最小，则点P要靠近点D，即点P在AB的右侧.

如图4，设圆心为O，连接OA，OB，OE，OP，OD，过点O作OQ⊥AD，

则OA=OB=OP.

因为∠APB=45°，

所以∠AOB=90°，则△AOB为等腰直角三角形，

所以OA=22AB=22=OP.

又因为E为AB中点，

所以OE⊥AB，

OE=12AB=AE=BE.

又因为四边形ABCD是矩形，

所以∠BAD=90°，AD=BC=8，

所以四边形AEOQ是正方形，

所以AQ=OQ=22OA=2，

QD=AD－AQ=6，

所以OD=OQ2+QD2=210，

由三角形三边关系可得DP≥OD－OP=210－22，当点P在线段OD上时取等号.

所以DP的最小值为210－22.

故答案为210－22．

点评 本题考查轴对称的性质，矩形的性质，隐圆，三角形三边关系，正方形的判定及性质，等腰直角三角形的判定及性质，等等，综合性较强.根据∠APB=12∠AGB=45°得知点P在以AB为弦，圆周角∠APB=45°的圆上是解决问题的关键．

结语

平面几何中的最值问题，是中考的一个难点.命题人在命制试题时，常常以圆的背景来命制，但题中又没有提到圆.这就需要考生分析问题，挖掘出试题中的“隐圆”，然后利用圆的性质和相关的平面几何知识求解.

参考文献：

[1]刘桂景.初中数学几何最值问题的解题思路分析[J].数理天地（初中版），2024（01）：49-50.

[2]崔怀胜.平面几何中与动点有关的最值问题[J].数理天地（初中版），2022（19）：21-22.

[3]刘贤华.中考最值问题分析及解题技巧[J].数理天地（初中版），2022（19）：29-30.