巧构辅助圆解答平面几何问题

【摘要】“辅助圆”是解答初中数学平面几何问题的一个重要工具，能够将不同种类的几何问题都转化为与圆有关的问题，从而利用圆丰富的几何性质求解.对于不同类型题目，构造辅助圆的方法和目的也有所不同，本文结合几道典型例题探讨如何巧构辅助圆解答平面几何问题.

【关键词】辅助圆；平面几何；初中数学

辅助圆问题题型多样，构思巧妙，是中考压轴题的热点，令许多学生望而却步.为了解答这一类问题，本文提炼出了以下三种基本的解题模型，以供读者参考.

1 利用辅助圆求解线段长度

例1 如图1所示，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，AC=3，AC与BD交于点P，已知AB=BD，PC=0.6，试求四边形ABCD的周长大小.

解 因为∠B=∠D=90°，结合图1可知，

A、B、C、D四点在以AC为直径的圆O上，过点B作BE⊥AD，

因为AB=BD，

所以点O在线段BE上.

因为CD⊥AD，

所以BE∥CD，则∠BOC=∠OCD.

所以△OPB∽△CPD，

则POCP=OBCD，代入数据得CD=1，

所以AD=22，OE=12.

则AB=22+（2）2=6，

BC=32－6=3.

则四边形ABCD的周长为：

1+3+6+22.

评析 辅助圆在求解线段长度时的主要作用是实现线段的位置转化或者构造相似或者全等三角形，从而根据比例关系或等量关系求解.

2 利用辅助圆求点的坐标

例2 在平面直角坐标系中，存在两点A（4，0），B（－6，0），y轴上有一个动点C，当∠BCA=45°时，求点C的坐标.

解 设线段AB的中点为E，

因为点A（4，0），B（－6，0），

所以AB=10，E（－1，0）.

因为点C在y轴上，为了方便求解，分为y轴上半轴和下半轴来讨论.

①当点C在y轴上半轴时，如图2所示，

过点E作EP⊥BA，且EP=12AB=5.

所以△PBA是等腰直角三角形，

则PA=PB=52，

以点P为圆心，线段PA的长为半径作圆P，其与y轴的交点即为C点.

因为∠BCA是圆P的圆周角，

所以∠BCA=12∠BPA=45°，则点C符合条件.

过点P作PF⊥y轴，垂足为F，

故OF=PE=5，PF=1，

在Rt△PFC中，PF=1，PC=52，则由勾股定理得CF=7.

所以OC=OF+CF=12，

则点C（0，12）.

②当点C在y轴下半轴时，如图3所示，同理可得点C（0，－12）.

综上所述，点C的坐标为（0，12）或（0，－12）.

评析 辅助圆适用于在线段相等条件下或者是角度相等条件下求解点的坐标的问题，作出相应的辅助圆后，与坐标轴或者是曲线、直线的交点就是题目所求点的坐标.

3 利用辅助圆求解角的大小

例3 如图4所示，四边形ABCD中，AE、AF分别是BC、CD的中垂线，其中∠EAF=80°，∠CBD=30°，求∠ABC和∠ADC的大小.

解 连接AC.因为AE、AF分别是BC、CD的中垂线，

所以AB=AC=AD，

则B、C、D三点在以点A为圆心，AB为半径的圆A上.

因为∠EAF=80°，

所以∠ECF=100°，

则弧BCD所对应的圆心角为160°.

又因为∠CBD=30°，

所以弧CD所对应的圆心角为60°，

则弧BC所对应的圆心角为100°.

所以∠ADC=180°－60°2=60°，

∠ABC=180°－100°2=40°.

评析 在利用辅助圆求解角的大小时，要合理利用圆的圆周角和圆心角的性质实现等价转化和角的位置转移.

4 结语

总的来说，在利用辅助圆解答平面几何问题时，要明确解题的方向，能够灵活运用圆的相关性质来实现已知条件的合理转化.同时，还要善于分解问题，转换思路，将一些复杂的情况通过辅助圆转变为简单的圆问题，问题就能迎刃而解.