分类讨论思想在初中数学解题中的应用例析

【摘要】分类讨论思想是一种重要的数学解题方法，在初中数学解题中具有广泛的应用．本文通过实例分析，探讨分类讨论思想在初中数学解题中的应用，旨在提高学生解题的准确性和效率．

【关键词】分类讨论；初中数学；解题技巧

分类讨论思想是指根据问题对象的特征，将问题按照一定的标准进行分类，逐类讨论解决问题的方法．这种思想有助于提高学生思维的严密性和逻辑性，是解决复杂问题的一种有效手段．

1 由未知数范围引起的讨论

例1 关于x的方程ax2+2a+1x+a－1=0有实数根，求a的取值范围．

解析 ①当a≠0时，原方程是一元二次方程．

因为原方程有实数根，

所以Δ=2a+12－4aa－1≥0.

解得a≥－18.

所以当a≥－18且a≠0时，原方程一定有实数根．

②当a＝0时，原方程可化为x－1＝0，

此时方程为一元一次方程，有实数根．

综上所述，a的取值范围是a≥－18.

点评 题目要求a的范围，但当a＝0与a≠0时，方程为两种不同类型的方程，实数根的情况也不相同，因此需要先假设a＝0或a≠0，在不同的约束条件下对方程进行分析．

2 由弦的位置不确定引起的讨论

例2 ⊙O的半径为5cm，弦AB∥CD，AB＝6cm，CD＝8cm，则AB和CD的距离是 cm．

解析 ①若AB和CD分布在圆心的同一侧，如图1所示，连接OC和OA，过O点作AB的垂线，分别交AB，CD于点F、E，

因为ED=12CD=12×8cm=4cm，

FB=12AB=12×6cm=3cm，

在Rt△DOE中，ED＝4cm，OD＝5cm，

所以OE=OD2－ED2=3cm，

在Rt△BOF中，FB＝3cm，OB＝5cm，

所以OF=OB2－FB2=4cm，

所以AB和CD之间的距离为OF－OE=1cm.

②若AB和CD分布在圆心的两侧，如图2所示，连接OC和OA，过O点作AB的垂线，分别交AB，CD于点F、E，

因为ED=12CD=12×8cm=4cm，

FB＝12AB＝12×6＝3cm，

在Rt△DOE中，OD＝5cm，ED＝4cm，

所以OE=OD2－ED2=3cm，

在Rt△BOF中，OB＝5cm，FB＝3cm，

所以OF=OB2－FB2=4cm，

所以AB和CD之间的距离为OF+OE=7cm．

可见，AB和CD的距离为1cm或7cm．

点评 本题看似是一道简单的填空题，但因AB和CD位置的不确定性，导致解出的结果可能不同，也给本题带来了一定的难度．考虑到AB和CD的位置无非就是在圆心同侧或圆心两侧，分两种情况进行讨论，在不同条件下，解决问题并不是很难．

3 三角形的边与圆的位置关系不确定引起的讨论

例3 如图3，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，AC＝5，BC＝12，点P是线段CD上一动点，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为 ．

解析 因为在Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，

所以AB=AC2+BC2=13，

因为CD⊥AB，

所以△ABC的面积＝12AB·CD＝12AC·BC，

所以13CD＝5×12，所以CD=6013.

分三种情况：

当⊙P与BC边相切，如图4，

过点P作PE⊥BC，垂足为E，

因为PE⊥BC，

所以∠PEC＝90°，

所以∠CPE+∠PCE＝90°，

因为CD⊥AB，

因为∠ADC＝∠CDB＝90°，

所以∠PCE+∠B＝90°，

所以∠B＝∠CPE，

因为∠CEP＝∠ACB＝90°，

所以△BCA∽△PEC，

所以BAPC=BCPE，13PC=124，

所以PC=133.

当⊙P与AB边相切，如图5，

因为PD⊥AB，

所以CP=CD－PD=6013－4=813.

当⊙P与AC边相切，如图6，

过点P作PF⊥AC，垂足为F，

因为PF⊥AC，

所以∠PFC＝90°，

所以∠CPF+∠PCF＝90°，

因为CD⊥AB，

因为∠ADC＝∠CDB＝90°，

所以∠PCF+∠A＝90°，

所以∠A＝∠CPF，

因为∠CFP＝∠ACB＝90°，

所以△BCA∽△CFP，

所以BAPC=CAFP，13PC=54，

所以PC=525，

因为525>6013，

所以PC=525舍去．

综上所述，当半径为4的⊙P与△ABC的一边相切时，CP的长为133或813.

点评 根据题目描述，半径为4的⊙P与△ABC的一边相切，但不清楚与哪条边相切，需要分三种情况，分别分析⊙P与△ABC的某一边相切，分别求出对应的CP的长，然后根据实际情况验证得出最后结果．

4 结语

分类讨论思想在初中数学解题中具有广泛的应用，通过实例分析，可以提高学生解题的准确性和效率．在运用分类讨论思想时，应先确定分类标准，再逐类讨论，最后将各类结果进行归纳整理．学生在解题过程中应注重思维的严密性和逻辑性，培养良好的数学思维习惯．

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