函数实际问题中的最值问题探讨

【摘要】在数学和工程领域，最值问题是一个重要的研究课题．特别是在函数实际问题中，最值问题的解决对于优化系统性能、提高效率以及降低成本等方面具有重要意义．本文探讨函数实际问题中的最值问题，并提供一些有效的解决方法．

【关键词】初中数学；函数实际问题；最值问题

最值问题是指在特定条件下，寻求某个变量取值的最大值或最小值的问题．在函数实际问题中，最值问题通常涉及函数的最大值、最小值、稳定性以及边界条件等因素．这些因素对于优化系统性能、控制误差以及提高效率等方面具有重要影响．

1 函数最值在几何问题中的应用

例1 如图1，在△ABC中，∠BAC=120°，AB+AC=4，将△ABC绕点C顺时针旋转120°得到△DEC，则AD2的取值范围是（ ）

（A）0<AD2<16． （B）12≤AD2<48．

（C）12≤AD2<16． （D）16<AD2<48．

解析 连接AE，如图2，

由旋转的性质可知△ABC≌△EDC，

所以AC=CE，AB=DE，

因为∠ACE=120°，

所以∠AED=120°－12（180°－∠ACE）=90°，

因为AB+AC=4，

所以设AB=DE=x，AC=CE=4－x，

作CF⊥AE，则AF=EF，

所以CF=124－x，

所以AF=4－x2－124－x2=

324－x，

所以AE=34－x，

因为AD2=AE2+DE2，

所以AD2=34－x2+x2=4x－32+12≥12，

因为0<x<4，

所以12≤AD2<16．

故选（C）．

点评 本题主要考查全等三角形的性质、函数思想求最值问题等．正确作出辅助线，设AB=DE=x，根据几何关系找到AD2关于x的函数关系，根据配方法即可求得其最值．

2 函数最值在生活中的应用

例2 某单位打算在A，B两家电视台打广告，因单位经费限制（不超过9万元），广告总时间要控制在5小时之内．A，B两家电视台给该单位的广告定价分别为500元/分钟、200元/分钟，对应的收益分别为3000元/分钟、2000元/分钟．问：该单位怎样分配广告时间，才能使收益最大化？并求出最大收益．

解析 设A，B两家电视台广告时间分别为x分钟、y分钟，带来的总收益为z元，

则x+y≤300500x+200y≤90000x≥0，y≥0，

即x+y≤3005x+2y≤900x≥0，y≥0，

目标函数z=3000x+2000y，

作出二元一次不等

式组所表示的平面

区域，即阴影部分

，如图3所示.作直线l：3000x+2000y=0，并平移，当l过点M时z取最大值，

联立x+y=3005x+2y=900，

得x=100y=200，

所以点M的坐标为（100，200）

所以z=3000x+2000y=700000 （元）．

点评 本题考查了运用图解法处理线性规划问题，解题的突破口是已知条件，找出题目中隐含的约束条件，确定目标函数．通过将题中的量分类，理顺思路，然后列出相关不等式组寻求其约束条件，并就题中所述找出目标函数关系式，然后将可行域各角点的值一一代入，最后比较，即可得到目标函数的最优解．

3 函数最值在解决线段长度问题中的应用

例3 已知抛物线C1：y=－x2－3x+4和抛物线c2：y=x2－3x－4交于A，B两点，在点A与点B之间存在两点P，Q，且P在C1上，Q在C2上．已知坐标系中两点Ax1，y1，Bx2，y2间的距离可用公式AB=x1－x22+y1－y22求出.

（1）求线段AB的长；

（2）若PQ∥y轴，求PQ长度的最大值．

解析 （1）联立两方程y=－x2－3x+4y=x2－3x－4，

解得x1=－2，y1=6，x2=2，y2=－6，

所以AB=（2+2）2+（6+6）2=410．

（2）如图4，若PQ∥y轴，

设Pt，－t2－3t+4，Qt，t2－3t－4（－2<t<2），

可得PQ=2（4-t2）≤8，

当t=0时，等号成立．

所以PQ的最大值为8．

点评 本题给出了两点Ax1，y1，Bx2，y2之间的距离公式：AB=x1－x22+y1－y22，根据这个公式可找到解题的突破口（求点的坐标）．

4 结语

综上所述，函数实际问题中的最值问题是一个重要而复杂的研究课题．通过对影响因素的分析和解决方法的研究，可以更好地解决实际问题，提高效率，降低成本．通过对实际应用案例的分析，可以更好地了解最值问题在实际情况中的应用效果，为实际问题的解决提供参考．

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