旋转法在正方形中的解题应用

【摘要】正方形有很多属性，它是特殊的平行四边形，也是轴对称图形，同时还是中心对称图形.多重属性赋予了正方形很多特征，这些特征常作为考点出题，在解答与正方形有关的试题时，特别是涉及角度，全等，相似，直角三角形时，可以考虑用旋转法解题.

【关键词】旋转法；正方形；应用类型

在人教版初中数学教材中，正方形［1］为八年级下册知识，旋转［2］为九年级上册知识，利用旋转法求解正方形有关的试题，一般需要有一定的跳跃性思维，特别是题干中没有提及“旋转”二字的试题，需要学生找出旋转点、旋转角度，以及被旋转图形.多数情况下，题干会直接表明有关旋转的操作，这样难度会相对简单，根据题意，结合正方形的性质和旋转的特点解题即可.本文列举了三道与旋转相关的试题，讲解正方形问题中，旋转法解题的具体过程.

例1 如图1，在△OAB中，已知顶点O0，0，A-3，4，B3，4，将△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转，若每次旋转90°，则第70次旋转结束时，点D的坐标为（ ）

（A）10，3. （B）－3，10.

（C）10，－3. （D）3，－10.

分析 根据题意，可求出正方形的边长，利用正方形的性质可确定点D的坐标，然后寻找旋转规律，易得旋转70次等同于旋转2次，再利用关于原点对称的点的坐标特征，可求出旋转后的点D的坐标.

解析 因为A-3，4，B3，4，所以AB=3+3=6.

因为四边形ABCD为正方形，所以AD=AB=6.所以D-3，10.

因为70=4×17+2，即每4次一个循环.

所以第70次旋转结束时相当于△OAB与正方形ABCD组成的图形绕点O顺时针旋转2次.

所以点D的坐标为3，-10．

小结 本题重在考查点的坐标，以及正方形在旋转过程中点的变化规律.解答本题的关键要找到旋转角度与图形特性的关系，一般题设中常见的旋转角度有：30°，45°，60°，90°，180°.

例2 如图2，正方形ABCD的边CD上有一点E，将△ADE绕点A顺时针旋转90°得到△ABF，连接EF，过点A作EF的垂线，垂足为H，AG与BC相交于点G.若BG=3，CG=2，则CE的长为（ ）

（A）54. （B）154. （C）4. （D）92.

分析 根据正方形的性质以及题干信息，可得BC=CD=5，再由旋转可得DE=BF.接下来设置未知量，证明△ABG∽△FCE，最后根据相似三角形的性质列出方程，最后求解CE即可.

解析 因为BG=3，CG=2.所以BC=BG+GC=2+3=5.

因为四边形ABCD为正方形，所以CD=BC=5.

设DE=BF=x，则CE=5－x，CF=5+x.

因为AH⊥EF，∠ABG=∠C=90°，

所以∠HFG+∠AGF=90°，∠BAG+∠AGF=90°.

所以∠HFG=∠BAG.

所以△ABG∽△FCE.

所以CEFC=BGAB，即5－x5+x=35，解得x=54.

所以CE=CD－DE=5－54=154.

小结 本题重在考查正方形的性质，勾股定理的应用，以及旋转的性质.在解答本题时需注意三点：对应点到旋转中心的距离关系，对应点与旋转中心连线的夹角关系，以及旋转前与旋转后图形的全等关系.

例3 如图3，矩形ABCD的对角线相交于点O，正方形OEFG的一条边OE在直线OD上，OG与CD相交于点M，正方形OEFG绕点O逆时针旋转，OG′，OE′分别与CD，AD相交于点P，Q.已知矩形长与宽的比值为2，则在旋转过程中PM：DQ=（ ）

（A）13. （B）23. （C）12. （D）34.

分析 由旋转的性质和余角的关系易证三角形相似，即△OPM∽△DOQ.再从相似出发，根据相似比可得线段长度的比值，从而得结论.

解析 因为∠DMO+∠MDO=∠MDO+∠QDO=90°，

所以∠PMO=∠QDO.

所以△OPM∽△OQD.

所以PMDQ=OMOD

因为CD∥AB，所以∠MDO=∠ABD.

所以tan∠MDO=tan∠ABD，

即OMOD=ADAB=12.所以PM∶DQ＝12.

小结 本题重在考查图形旋转的性质，相似三角形的判定，三角函数的定义，以及正方形和长方形的性质，熟练地掌握各定理、定义的关系，是解答本题的关键.

结语

上述三个问题是中考试题中常见的与正方形有关的且利用旋转法求解的例子.对于这一类型题目，在阅读题干时需要注意以下几点：①是否有特殊的旋转角度；②旋转过程中是否有重边或公共边的情况；③是否出现等腰直角三角形、等边三角形这些特殊的图形等.当出现以上这几点时，解题过程会相对复杂，经常要利用全等三角形、相似三角形、勾股定理、旋转变换等联合解题.一般“全等”与“旋转”是等长线段的转换工具；“相似”是比例大小的转换工具；“勾股定理”是列等式方程的工具.这类试题需要学生有着较强的知识综合运用能力，可以通过多练、多解、多总结的过程，掌握旋转与正方形的结合问题.

参考文献：

[1]课程教材研究所.八年级数学：下[M].北京：人民教育出版社，2012.

[2]课程教材研究所.九年级数学：上[M].北京：人民教育出版社，2012.

[3]钟颖琦.基于核心素养的初中数学解题教学研究及案例分析[D].宁波大学，2021.