初中数学素育下的思考

【摘要】初中数学教育的目标之一是培养学生的数学解题思维，这不仅是为了解决具体的数学问题，更是为了锻炼学生的逻辑思维、推理能力和问题解决能力.本文围绕三个具体的数学问题展开讨论，通过不同的解题方法和思维过程，探讨如何在初中数学教育中培养学生的数学解题思维.

【关键词】初中数学；解题思维；推理能力

例1 如果方程x2+m－3x+m=0的两个根是正数，那么实数m的取值范围是（ ）

（A）m≤1. （B）0<m≤1.

（C）m>1. （D）0<m<1.

解析 要解决这个问题，学生可以采用三种不同的方法.每种方法都能从不同的角度展示初中数学对学生解题思维的培养.

方法1 判别式法

首先，我们知道一个二次方程有实数根的条件是判别式大于等于0.对于方程x2+m－3x+m=0，其判别式为Δ=（m-3）2-4m）.要使根为正数，判别式必须大于0.解这个不等式，我们可以找到满足条件的m的值.

方法2 根与系数的关系

根据根与系数的关系，对于方程ax2+bx+c=0，如果x1和x2是方程的两个根，则x1+x2=-ba且x1x2=ca.

对于给定的方程，我们有x1+x2=3-m和x1x2=m.因为根是正数，所以3-m>0，m>0.可以帮助我们进一步确定m的取值范围.

方法3 图象法

学生可以画出函数y=x2+m－3x+m的图象.因为根是方程的解，所以我们需要找到函数图象与x轴相交的点.根据题目条件，这两个交点都应该在x轴的正半部分.通过分析函数的顶点和对称轴，我们可以细化m的取值范围.

根据以上三种解法，可以得出正确的答案是（D）0<m<1.根据根与系数的关系，我们知道m>0且3-m>0，即m<3.结合判别式法和图象法的分析，我们可以进一步细化m的取值范围：0<m<1.

例2 小明和小红有一些贴纸，如果小明给小红一些贴纸，那么小红的贴纸将是小明的3倍.如果小红给小明一些贴纸，那么小明的贴纸将是小红的2倍.小明和小红各有多少贴纸？

解法1 设立方程解法

假设小明原来有m张贴纸，小红原来有n张贴纸.

根据问题描述，小明给小红一些贴纸后，设给出的贴纸数为x，

则m-x=13（n+x）.

小红给小明一些贴纸后，设给出的贴纸数为y，

则有m+y=2（n-y）.

通过解这两个方程，我们可以解得m和n的值.

解法2 利用比例关系

根据题目描述“小明的贴纸将是小红的2倍”，可以设小明和小红交换的贴纸数使得交换后小明∶小红=2∶1.

同理“小红的贴纸将是小明的3倍”可设另一种情况下的比例关系为小红∶小明 =3∶1.

通过构建比例关系和已知信息，我们可以设立一个方程组来表示这两种情况，并求解.

解法3 图形表示法

利用条形图表示小明和小红的贴纸数，将小明和小红贴纸数的增减关系用图形直观表示出来，然后根据图形的比例关系解题，帮助学生直观理解问题，特别是对视觉学习型的学生非常有效.通过这个问题及其解法，我们不仅考查了学生对分数和比例的理解，还培养了他们运用不同解题策略的能力.

例3 某自行车出租点，前30分钟的租车费用为10元，超过30分钟后，每增加10分钟需额外支付2元.如果小李使用自行车不超过2小时，求小李使用自行车时间与租车总费用之间的函数关系，并根据这个关系，计算小李使用自行车75分钟时的租车费用.

解法1 分段函数解法

设x表示小李使用自行车的时间（分钟），y表示租车的总费用（元）.

构建分段函数：当0<x≤30时，y=10.

当30<x≤120时，每超过10分钟支付2元，可以表示为y=10+2（x-3010）.

当x=75分钟时，代入分段函数的第二部分计算得到y=10+2（75-3010）=10+2×5=20元.

解法2 图形表示法

绘制时间－费用图表：在坐标轴上绘制时间x与费用y的关系.前30分钟为一段直线，之后以10分钟为一个单位，每增加2元为一个斜率.

读取图表求解：根据图表，找到x=75时y的值.图表将直观显示费用随时间增加的情况，便于理解和计算.

解法3 逻辑推理法

基础费用：首30分钟费用为10元.

超出费用计算：超过30分钟，每增加10分钟费用增加2元.因此，可以先计算超出的分钟数，然后除以10，乘以2得到额外费用.

即75-30=45分钟，额外时间4510=4.5，向上取整为5，所以额外费用为5×2=10元.总费用为基础费用加额外费用，即10+10=20元.

本题展示了如何从不同角度分析和解决一个实际问题，培养了学生使用函数解决问题的能力，同时也强化了他们对分段函数概念的理解和应用.

例4 在等腰直角三角形ABC中，BA=BC，AP=AB，PB=PC，求证∠CAP=15°.

解析 本题目可以利用数形结合的思想，将题干条件和图形结合起来，通过作不同的辅助线可有多种解题方法.

解法1 如图1，过点P作PD⊥BC，PE⊥AB.

因为PB=PC，PD⊥BC，

所以点D是BC的中点，BD=12BC，

所以四边形PDBE是矩形.

因为BC=AB=AP，

PE=BD=12BC=12AP，

所以∠PAE=30°.

因为△CAB为等腰直角三角形，

所以∠CAB=45°，

所以∠CAP=45°-30°=15°.

解法2 如图2，将ABC进行翻折，得以的四边形ABCD则是正方形.

因为PC=PB，

所以∠PCB=∠PBC，

所以∠DCP=∠ABP.

因为DC=AB，PC=PB，

所以△DCP≌△ABP（SAS），

所以DP=AP=AB=AD，

所以△ADP是等边三角形，∠DAP=60°，且∠DAC=45°，

所以∠CAP=15°.

结语

以上就是应用数形结合的思想和三角形的基础知识，通过构造不同的辅助线，形成不同的图形，从而达到更好地解决问题的目的.