初中数学几何教学中“瓜豆原理”的应用

【摘要】近年来，初中数学几何教学中的主从联动问题备受关注，重在提高学生的几何直观能力和解决问题的能力.本文研究初中数学几何教学中“瓜豆原理”的应用，旨在提供一种有效的教学方法和思路，并通过具体例题展示如何利用所得的轨迹解决点线、点圆的最值等问题.

【关键词】初中数学；几何教学；瓜豆原理

“瓜豆原理”，以一个点的位置移动引起另一个点位置变化的动态特性为核心，不仅在名校模考中频繁出现，而且被越来越多的优秀教师作为教学的重点研究对象.其解题思路虽然简单，但衍生的问题千变万化，成为初中数学教学中的难点.解决此类问题首先应确定主动点的轨迹；其次要重点研究从动点与主动点之间的关系，寻找等角、等比等规律，进而确定从动点的运动轨迹类型；然后运用相似关系和其他数学方法，推导出从动点的具体轨迹；最后利用所得的轨迹解决点线、点圆的最值等问题.

1 点在直线上的瓜豆模型

点在直线上的瓜豆模型中，主要研究的是点在直线上的运动轨迹和相关性质，涉及点的坐标变换和距离计算等内容.在解决问题时，点在直线上的瓜豆模型常涉及点线关系，如点到直线的距离、点在线段上的投影等.

例1 如图1所示，长方形ABCD中，AB=6，BC=152，E为BC上一点，且BE=32，F为AB边上的一个动点，连接EF，将EF绕点E顺时针旋转45°到EG的位置，连接FG和CG，则CG的最小值为.

分析 如图2所示，将线段BE绕点E顺时针旋转45°得到线段ET，连接DE交CG于J.首先证明∠ETG=90°，推出点G在射线TG上运动，进而推出当CG⊥TG时，CG的值最小.

解 因为四边形ABCD是矩形，

所以AB=CD=6，∠B=∠BCD=90°，

因为∠BET=∠FEG=45°，

所以∠BEF=∠TEG，

又因为EB=ET，EF=EG，

得到△EBF≌△ETGSAS，

所以∠B=∠ETG=90°，故点G在射线TG上运动，当CG⊥TG时，CG的值最小.

又因为BC=152，BE=32，CD=6，

所以CE=CD=6，∠CED=∠BET=45°，

∠TEJ=90°=∠ETG=∠JGT=90°.

故四边形ETGJ是矩形，

则DE∥GT，GJ=TE=BE=32，

所以CJ⊥DE，JE=JD，

得到CJ=12DE=32，

此时CG=CJ+GJ=32+32.

此题的解法需要运用多个几何知识点，其中最为重要的是瓜豆原理的应用以及全等三角形的构造.在解题过程中，需要不断观察和分析题目中给出的条件，结合已有的几何知识推导和证明结论.同时，添加常用的辅助线，构造全等三角形能够帮助我们更好地理解问题，从而得出精确的结论.因此，在学习几何知识时，学生需要注重培养几何思维和创造性思考能力，灵活运用所学知识来解决实际问题.

2 点在圆上的瓜豆模型

点在圆上的瓜豆模型中，主要研究的是点在圆上的运动轨迹和相关性质，涉及圆的性质、相似关系和角度关系等内容.在解决问题时，点在圆上的瓜豆模型则涉及点到圆的距离、切线斜率等圆相关的特性.

例2 如图3所示，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=16，BC=12，点P在以AB为直径的半圆上运动，由点B运动到点A，连接CP，点M是CP的中点，则点M经过的路径长为.

分析 由AB是直径，得∠APB=90°，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，由三角形中位线定理知ME⊥MF，即∠EMF=90°，则点M在以EF为直径的半圆上，即可得出答案.

解 因为∠ACB=90°，

AC=16，BC=12，

所以AB=AC2+BC2=162+122=20，

连接AP，BP，因为AB是直径，所以∠APB=90°，即AP⊥BP，取BC，AC的中点E和F，连接ME，MF，EF，

在△BPC中，因为M，E为PC、BC的中点，

所以ME∥BP，ME=12BP，

在△APC中，因为点M、F为PC、AC的中点，

所以MF∥AP，MF=12AP，

所以ME⊥MF，即∠EMF=90°，

因此点M在以EF为直径的半圆上，如图4所示.

所以EF=12AB=10，点M的运动路径长为12π×10=5π.

综上所述，通过研究圆周角定理、三角形中位线定理以及定角对定弦的关系，可以确定点M的运动路径.在解题过程中，需要灵活应用这些几何知识，逐步推导和证明结论，从而得出准确的答案.这样的解题过程不仅培养了学生的几何思维和分析能力，还提供了实际应用背景，激发了学生的学习兴趣和创造性思维.

3 结语

“瓜豆原理”作为初中数学几何教学中的一个重要应用，具有广泛的教育意义和实际价值.在教学过程中，教师应该注重培养学生的几何直观能力和分析思维能力，鼓励他们探索问题本身的规律和特点，灵活运用数学知识和方法，从而更深入地理解几何概念和解决相关问题.“瓜豆原理”只是初中数学几何教学中的一个方面，还有很多其他的知识点和应用需要关注和研究.教师应该不断提高自身的教学水平和能力，为学生的学习和成长提供更好的支持和帮助.

参考文献：

[1]卢锦光.“瓜豆原理”与最值问题浅析[J].中学数学研究（华南师范大学版），2023（22）：38-41.

[2]许志强.巧用瓜豆原理，破解初中数学路径问题[J].中学数学，2023（20）：54-55.

[3]陆建青.例析瓜豆原理破解旋转下的最值问题[J].初中数学教与学，2023（06）：32-34.