含参数二元一次方程组和一元一次不等式组的处理与运用

【摘要】含参数的二元一次方程组和一元一次不等式组是初中学生第一次遇到的参数问题.通过等式性质、不等式性质、消元思想等的学习，学生掌握了方程组、不等式组的解法，为解决参数问题打下坚实的基础.字母表示的参数或未知数对于学生来说仍有一定难度，尤其是求参数值或范围的问题.本文通过经典例题展示解决参数问题的方法，渗透类比思想，拓展学生思维.

【关键词】初中数学；参数；解题技巧

1 核心知识

二元一次方程组和一元一次不等式组是苏教版七年级下册第10章“二元一次方程组”和七年级下册第11章“一元一次不等式和不等式组”主要学习内容，也是中考热点内容.在实际应用中，主要运用等式的性质和“代入消元法”“加减消元法”的思想求解方程组.消元思想是指用一个未知量代替其余的未知量，得到只含有一个未知量的式子.对于一元一次不等式组的求解集问题，主要利用不等式的性质.在数轴上表示多个不等式的解集并找到不等式组的解集是学生学习的难点，侧面反映出学生对于数形结合思想掌握得不牢固.

2 典型真题教学实例

2.1 已知一元一次不等式组的解集求参数值

例1 若关于x的不等式组x－a>2b－2x>0的解集是－1<x<1，则a+b2021=.

教学示范 在了解学生已掌握知识的基础上，让学生独立审题，并做出以下引导：直接求得（a+b）的值，还是分别求得a和b的值.首先要从不等式组的解集入手，用a和b表示出不等式的解集，再根据题目中给出的解集，找到等量关系.

解析 求解不等式组各不等式解集为x>2+ax<b2，

根据题意得该不等式组解集为2+a<x<b2.

已知解集为－1<x<1，

则2+a=－1，b2=1.

得到a=－3，b=2，

则a+b2021=－1.

达成目标 用字母表示数是苏教版七年级上册“整式的加减”中的内容，是从实际问题中抽象出来的.每个整式都可以赋予实际意义.但是在不等式中，当把字母表示的常数与字母表示的未知数放在一起时，学生不能很好的区分.要向学生强调题目中“关于x的不等式组”表达的含义.先利用不等式性质求其解集，得到的解集是含有参数的式子.再根据题目中给出的解集形式得到参数的值.通过例题的讲解，学生要做到会审题，有思路，有方法.

2.2 已知一元一次不等式组的特殊解求参数取值范围

例2 若关于x的不等式组x－a<0①3－2x≤－1②的整数解只有三个，则a的取值范围是.

教学示范 教师做出以下引导：在求一个不等式组的特殊解时，先求出解集，再在解集中找特殊解.在这个题目中对于特殊解做出了要求，从含a的解集中找到整数解.让学生自主作答，小组讨论.教师巡视，学生思路受阻时，教师给予一定的引导.学生经过自主思考得到答案.该不等式组的解集为2≤x<a，整数解分别为2，3，4.即x<a的最大整数解为4.

解析 由①得x<a，由②得x≥2.有三个整数解，所以该不等式组的解集为2≤x<a，且整数解为2，3，4.故x<a的最大整数解为4，得4<a≤5.

达成目标 该题目只给出了特殊解的个数或特殊解，要求学生根据特殊解求解集.这与以往学习经验是互逆的，很大程度上增加了问题的难度.要求学生有扎实的求解特殊解的基础，且具有善于观察归纳总结的能力.通过观察结果总结出规律：若x<a的最大整数解为4，则4<a≤5.

2.3 与二元一次方程组融合的一元一次不等式组求参数取值范围

例3 若关于x，y的方程组4x+y=k+1①x+4y=3②的解满足0<x+y<1，则k的取值范围是.

教学示范 先让学生试着去解决问题，发现学生将①变形为k=4x+y－1.而题目中只给出了x+y的取值范围，得不到4x+y的取值范围.提出以下问题对学生进行引导：观察方程组能不能用含x+y的式子表示k.发现①+②会得到5x+y=k+4，再根据0<x+y<1，可得到k的取值范围.

让学生再次阅读题目并找到与例1之间存在的联系.发现这两道题

目都是直接给出解集，求参数的值.在例2中给出方程组解集满足的条件，求参数取值范围.类比以上解题思路，引导学生先求出方程组的解.即用含k的式子表示x，y.接下来，根据x，y的表达式和满足的条件得到一个不等式组，求得k的取值范围.

解法1 将①+②得k=5（x+y）－4，

根据0<x+y<1，得－4<k<1.

解法2 利用加减消元法解方程组得x=4k+115y=11－k15，

即 0<4k+115+11－k15<1.

解该不等式组得－4<k<1.

达成目标 学生根据以往的学习经验，可能会用含x，y的式子表示k.但题目中只给出了x+y的取值范围，所以只有用含x+y的式子表示k才能求出其范围.需要学生去观察方程组挖掘其与x+y的联系.对于方程组与给出的x+y没有明显关系时，先用含k的式子表示x，y后，根据0<x+y<1得到只含有k的不等式组，最后求得k的取值范围.对于含有参数的方程组且给出了解满足的条件，都可以用此方法解决.该方法具有典型性和直接性.

3 设计说明

3.1 渗透类比思想，熟练掌握方法

含参数的二元一次方程组和一元一次不等式组是学生学习的难点，在解题过程

中，学生常

不能很好地区分表示常数的字母和表示未知数的字母.对于该类型题目进行整理并类比学习，可以培养学生的类比思想.在不等式和不等式组中求参数的值或取值范围，要找到问题的本质和相通的解法.在学习过程中渗透类比思想，能够让学生感悟同类问题的共性和解题思路，进一步熟练掌握解决问题的方法.

3.2 拓展思维，多角度思考问题

为了实现让学习真实的发生，要给学生足够的时间去思考和对题目进行比较，以便去解决问题，培养学生独立审题，自主思考的能力.将二元一次方程组和一元一次不等式组融合考查时，学生已经有了一定的解题思路和方法，可以采用自主探究及小组合作的方式.根据学生已获得的学习经验，从多角度思考问题，发生思维碰撞.