全等三角形问题中的常见模型探析

【摘要】全等三角形问题是平面几何问题中的一类重要题型，解答此类问题不仅需要有较强的思维能力，还要掌握一些常见的模型构造方法.本文根据几道例题谈全等三角形问题中的三个常见模型，以供读者参考.

【关键词】全等三角形；初中数学；解题技巧

1 “倍长中线”模型

例1 如图1所示，在△ABC中，AD是BC边上的中线，点E是AD上的一点，AE=2DE，AE=3，BE=5，CE=4，则△ABC的面积为.

解 延长AD到点F，使ED=DF，连接BF，如图2.

所以EF=2DE.

因为AE=2DE，AE=3，

所以EF=AE=3.

在△BDF和△CDE中，

BD=CD，∠BDF=∠CDE，DF=DE，

所以△BDF≌△CDE，

所以BF=CE=4.

因为BE=5，

所以BF2+EF2=42+32=52=BE2，

所以∠BFE=90°.

所以S△BCE=S△BEF=12×3×4=6.

因为AE=2DE，

所以S△ABE+S△ACE=2S△BCE=12，

所以S△ABC=18.

评析 “倍长中线”模型是构造全等三角形时较为常用的一类模型，中线本身带有线段相等的性质，同时在延长之后对顶角相等也可以作为证明全等三角形的条件之一.

2 “K”字模型

例2 在平面直角坐标系中，存在两点A（7，0），B（3，－8），点P为一次函数y=x－1图象上的一点，且∠ABP=45°，求点P的坐标.

解 如图3所示，过点B作直线CD∥x轴，作BE⊥AB并截取BE=AB.作AC⊥CD于点C，作ED⊥CD于点D，连接AE，

则由“K”字模型可得△ABC≌△BED.

所以AC=BD=8，BC=DE=4，

所以E（－5，－4）.

设BP交AE于点F，

则由∠ABP=45°，

BE⊥AB，BE=AB，

可得点F为线段AE的中点，

所以F（1，－2）.

由B（3，－8）和F（1，－2），

易得yBF=－3x+1，

联立y=－3x+1y=x－1，

解得x=12y=－12，

所以点P（12，－12）.

评析 “K”字模型是构造全等三角形常用的一类模型，其主要是通过构造垂直，从而得到全等三角形.此方法要求构造出的直角三角形的斜边要相等，若不相等，则一般是相似三角形.

3 “半角”模型

例3 如图4所示，四边形ABCD为菱形，∠A=60°，点E、F分别是AB、AD上的点，且AE=DF.连接DE、BF交于点G，连接CG、BD.若CG=7，BG=5，则DG=.

解 如图5所示，延长FB到点M，使BM=DG，连接CM.

因为∠A=60°，AB=AD，

所以△ABD为等边三角形，

则∠A=∠BDF=60°.

因为CD∥AB，

所以∠ADC=180°－∠A=120°，

同理可得∠ABC=120°.

在△AED和△DFB中，AD=DB，

∠A=∠BDF，AE=DF，

所以△AED≌△DFB.

所以∠ADE=∠DBF，∠AED=∠DFB.

因为AD∥BC，DC∥AB，

所以∠DFB=∠CBM，∠AED=∠CDG，

所以∠CBM=∠CDG.

因为△DBC是等边三角形，

所以CD=CB.

在△CDG和△CBM中，

CD=CB，∠CDG=∠CBM，DG=BM，

所以△CDG≌△CBM.

所以∠DCG=∠BCM，CG=CM，

所以∠GCM=∠DCB=60°，

所以△CGM是等边三角形，

则CG=GM=BG+BM=BG+DG，

即DG=CG－BG=2.

评析 “半角”模型的关键在于找到含半角的角度，然后通过旋转实现构造全等三角形，由全等条件得到边角条件之后，再进行相关的证明或计算.

4 结语

上文通过三道例题介绍了全等三角形中的三个常用模型.在平时解题时，学生要学会总结归纳，分清不同模型的特征，抓住解题的关键点，结合平移、旋转、对折等操作构造全等三角形，再利用全等三角形的边角关系来解答问题.