抛物线中的几何性质及其应用

【摘要】抛物线是初中数学的一个重要图形，二次函数的图象就是一条抛物线.在许多压轴题中，二次函数就是重要的考查对象，因此掌握抛物线的相关几何性质极其重要.本文结合例题谈抛物线的两个几何性质，并展示如何应用这两个性质解题.

【关键词】抛物线；几何性质；初中数学

1 性质介绍及证明

性质1 若抛物线y=ax2上有一定点A（x0，y0），而点B（x1，y1），C（x2，y2）是二次函数图象上的两个动点（不同于点A）.若AB⊥AC，则直线BC一定经过定点P（－x0，y0+1a）.

证明 设a>0，如图1所示分别过B、C两点作过点A平行于x轴的直线的垂线，垂足分别为点D、E.

因为AB⊥AC，依据相似三角形中的“三垂直”模型，可得△ABD∽△CAE.

所以ADCE=BDAE.

因为点A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2），

则AD=x0－x1，AE=x2－x0，BD=y1－y0=ax12－ax02，CE=y2－y0=ax22－ax02，

所以x0－x1ax22－ax02=ax12－ax02x2－x0，

整理得ax1·x2=－ax0（x1+x2）－ax02－1a.

设直线BC：y=kx+b，把B（x1，ax12），C（x2，ax22）代入，

得ax12=x1k+bax22=x2k+b，

解得k=a（x1+x2）b=－ax1x2.

所以y=a（x1+x2）x－ax1x2=a（x1+x2）（x+x0）+ax02+1a，

所以直线BC过定点P（－x0，ax02+1a），

即直线BC过定点P（－x0，y0+1a）.

拓展结论 抛物线y=a（x－h）2+k上有一定点A（x0，y0），B（x1，y1），C（x2，y2）是二次函数图象上的两个不同于点A的动点.若AB⊥AC，则直线BC一定经过定点P（－x0+2h，y0+1a）.

性质2 如图2所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与直线y=kx+m交于点A、B，与y轴交于点C，直线y=kx+m与y轴交于点D，过点A、B分别作AE⊥y轴，BF⊥y轴，垂足为点E、F，则CD=|a|AE·BF.

证明 易得C（0，c），D（0，m），

则CD=|c－m|.

设点A的横坐标为xA，点B的横坐标为xB，

则由ax2+bx+c=kx+m，

即ax2+（b－k）x+c－m=0，

得xA·xB=c－ma.

所以AE·BF=|xA·xB|=|c－ma|=CDa，

即CD=|a|AE·BF.

2 典例分析

例1 如图3所示，已知抛物线y=x2+bx+c经过点A（1，0），B（－5，0），动点P在x轴的下方，连接PA，过点A作AQ⊥PA，作直线PQ.

（1）求抛物线的解析式；

（2）在动点P运动的过程中，直线PQ是否经过定点？若存在定点，求出定点的坐标，若不存在，请说明理由.

解 （1）易得抛物线的解析式为y=x2+4x－5.

（2）由点A（1，0）及y=x2+4x－5=（x+2）2－9，

可得a=1，h=－2，x0=1，y0=0.

所以由性质1可得直线PQ经过定点P（－x0+2h，y0+1a），

即P（－5，1）.

例2 如图4所示，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为点C.若∠ACB=90°，求证：OC=1a.

证明 因为∠ACB=90°，

所以OC2=AO·BO.

由性质2可得OC=|a|AO·BO，

所以|a|OC2=OC，

即OC=1a.

3 结语

对于抛物线相关题目，掌握一些常用的二级结论是很有必要的，可以大大加快解题的速度.由两道例题我们可以看出，只需要找到模型中的关键词，即可直接利用结论求解出答案.