“特殊化”思想在初中数学中的运用

【摘要】在解答数学问题时，为了加快解题的速度，同时避免一些不必要的繁杂运算，一般会采用特殊的方法来简化解题过程，从而快速解题.利用特殊化思想来解题不仅可以提高思维的灵活性，还能提高学生对于知识的应用能力.本文将结合几道例题谈谈特殊化思想在初中数学中的应用.

【关键词】特殊化；初中数学；解题技巧

1 构造特殊图形

例1 如图1所示，有一矩形ABCD，过其顶点C作CE⊥BD，垂足为E，延长EC到点F，使CF=BD，连接AF，求∠BAF的度数.

解 常规解法 延长AB至点G，使BG=AB，连接GC、GH、AC，如图2所示.

因为四边形ABCD是矩形，所以BC⊥AB.

又因为AB=BG，CB垂直平分AG，所以AH=GH，AC=CG.

则△ACH△GCH，所以∠HAC=∠HGC.

又因为矩形的对角线相等，即AC=BD，

而CF=BD，所以AC=CF，

所以∠F=∠CAF=∠HGC.

又因为矩形对边平行且相等，

所以BG∥DC，BG=DC.

所以四边形BGCD是平行四边形，

则BD∥CG.

因为CE⊥BD，所以EF⊥CG，

则∠GCF=90°.

在△GPH和△FPC中，∠HPG=∠CPF，∠HGC=∠F，

所以∠GHP=∠GCF=90°.

所以GH⊥AF，△AGH是等腰直角三角形，所以∠BAF=45°.

特殊解法将矩形ABCD特殊化看作是正方形ABCD，则如图3所示.

易得AF是∠BAD的角平分线，

故∠BAF=45°.

评析 此题虽然条件比较简单，图形也不算复杂，但是若按常规思考方式往往难以发现解题的思路.但是此题的条件可以特殊化，通过构造特殊图形，将矩形特殊化为正方形，则AF与EF重合.此时，可得∠BAF=12∠BAD=45°.这样就可以利用构造法将问题简化，思路也更加清晰.

2 利用特殊点

例2 如图4所示，线段AB是半圆O的直径，长度为2，直角三角形DEC的直角边DE与OB重合，且∠DCE=30°.连接AC，点P是AC上的一点，且CP=3AP，将△DEC绕点B按顺时针方向旋转到图5的位置，则点P在此过程中运动的路径长为（ ）

（A）132π. （B）34. （C）312π. （D）34π.

解 如图4所示，取圆心O所在位置为特殊的点D，则点P的运动轨迹是一个圆弧.

过点P作BC的平行线与AB相交，交点即为圆弧的圆心.

因为CP=3AP，所以圆弧的半径大小为34，则点P的运动路径长为l=60·π·34180=312π，答案为（C）.

评析 在取特殊点时要把原先研究的动点固定在某个位置，方便后续的观察与分析.这时再以所取特殊点的变化为基准，研究出其轨迹，反推出原研究动点的轨迹，即可得到答案.需要注意的是，所取的特殊点一定要不违背原题的条件，并且能够起到简化问题的目的.

3 选取特殊的值

例3 现有周长相等的三种图形：正三角形、正方形、正六边形，三者的面积分别为S1、S2、S3，则下列说法中正确的一项是（ ）

（A）S1>S2>S3. （B）S1>S2>S3.

（C）S3>S1>S2. （D）S2>S3>S1.

解 设三者的周长大小均为6，则正三角形的边长为2，高为3，则S1=3；

正方形的边长为32，则S2=94；正六边形的边长为1，边心距为32，则S3=332.

因为332>94>3，所以S2>S2>S1，选择（B）选项.

评析 选取特殊值是特殊化思想中的一种常用方法.部分题目只会给出变量之间的关系式，并不直观，也不方便运算.这时就可以选取一些特殊值，既方便计算，也可以快速地得出答案.

4 结语

总的来说，特殊化思想在初中数学解题中是极其广泛的.但与此同时也要认识到特殊化的局限性：在特殊情况下成立的一般情况下未必成立，要辅以更多的严谨证明.但是特殊情况下不成立的，一般情况下也肯定不会成立，所以对于选择题和填空题，特殊化思想可以加快解题的速度.

参考文献：

[1]徐岩.特殊与一般思想在初中数学解题中的应用[J].中学数学，2023，（24）：51-52.

[2]刘松风.特殊化思想在初中数学解题中的应用策略研究[J].中学课程辅导（教师通讯），2020，（14）：124-125.

[3]王朝梅.特殊化策略在初中数学解题中的应用[J].数理化解题研究，2019，（08）：26-27.