2023年高考全国甲卷理综第20题的深入分析

摘 要：2023年高考全国甲卷理综第20题以带电粒子在圆形磁场区域内的运动为背景，考查了粒子在圆筒内进行分段圆周运动的周期性。尽管圆周运动是一个经典的物理问题，但该题的出题角度新颖，富有创意。在解析试题的基础上，本文对粒子在圆形磁场区域内的运动进行一般性的探讨，可以充分拓展学生的思考空间，引导他们深入分析可能出现的各种情况，从而培养学生的科学思维能力。

关键词：高考物理试题；带电粒子；圆形磁场；科学思维

2023年高考全国甲卷理综第20题通过带电粒子在圆形区域磁场内的运动来设计学习探索问题情境，涉及的必备知识包括带电粒子在匀强磁场中运动轨迹的半径、圆周运动的周期与粒子运动速度、磁场的磁感应强度等物理量之间的关系。该题主要考查学生的理解能力、推理论证能力以及物理学科素养中的物理观念、科学思维，突出考查了综合性和创新性能力。［1］

1 试题解析

（2023年高考全国甲卷理综第20题）（多选）光滑刚性绝缘圆筒内存在着平行于轴的匀强磁场，筒上P点开有一个小孔，过P点的横截面是以O点为圆心的圆，如图1所示。一带电粒子从P点沿PO射入，然后与筒壁发生碰撞。假设粒子在每次碰撞前、后瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反；电荷量不变。不计重力。下列说法正确的是（" ）。

A. 粒子的运动轨迹可能通过圆心O

B. 最少经2次碰撞，粒子就可能从小孔射出

C. 射入小孔时粒子的速度越大，在圆内运动时间越短

D. 每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定平行于碰撞点与圆心O的连线

答案：B、D

解析：根据带电粒子在圆形区域的匀强磁场中运动的特点和性质，粒子从P点沿半径PO方向射入，必然沿半径方向与圆筒壁发生碰撞。由于粒子在每次碰撞前、后的瞬间，速度沿圆上碰撞点的切线方向的分量大小不变，沿法线方向的分量大小不变、方向相反，所以每次碰撞后瞬间，粒子速度方向一定沿半径方向，即平行于碰撞点与圆心O的连线，故选项D正确。既然粒子在每次碰撞前、后瞬间的速度沿半径方向，那么粒子的运动轨迹是处于不同位置头尾相接的相同的圆弧，不可能通过圆心O，故选项A错误。要使粒子能从小孔射出，那么粒子在磁场中全部轨迹圆心连接成的正多边形，是以筒壁为内切圆的正多边形，最少为正三角形（如图2所示），即最少经2次碰撞，粒子才可能从小孔射出，故选项B正确。

本题的亮点是选项C的设计，该选项给学生留出了较大的思考空间，引导学生深入分析可能出现的各种情形。可以初步判断，粒子的速度越大，做圆周运动的半径越大，碰撞次数可能会增多，甚至不一定能从小孔射出，所以粒子在圆内运动时间不一定越短，故选项C错误。

下面对粒子在圆内运动可能出现的各种情形进行一般性的探讨。

2 深入分析

当粒子以大小不同的速度从P点沿PO射入时（如图3所示），每段圆弧轨迹的圆心角θ满足0＜θ＜π，粒子与圆筒壁碰撞的相邻两个碰撞点与圆心O的连线之间的夹角为α，由几何关系可知θ＋α＝π，那么α的取值范围也满足0＜α＜π。若粒子能从小孔射出，则必须满足nα＝2kπ，其中n为圆弧轨迹的段数，k为粒子在圆筒中转的圈数，而且n、k均为整数。

若粒子转一圈后从小孔射出，则k＝1，即nα＝2π。由于0＜α＜π，所以n的取值满足n≥3的整数即可，列举几种情况如图4所示。

若粒子转两圈后从小孔射出，则k＝2，即nα＝4π。由于0＜α＜π，所以n的取值满足n≥5的整数即可，列举几种情况如图5所示。

若粒子转三圈后从小孔射出，则k＝3，即nα＝6π。由于0＜α＜π，所以n的取值满足n≥7的整数即可，列举几种情况如图6所示。

综上所述，可知n的取值范围是n≥2k＋1，且n为整数，本文不再赘述。而当粒子射入小孔的速度变化时，粒子在圆内运动的时间如何变化？这需要区分不同的情况。

由洛伦兹力提供向心力qvB＝mv2r，可得轨迹半径r＝mvqB，周期T＝2πrv＝2πmqB。粒子做圆周运动的轨迹半径与速度成正比，圆周运动周期与速度无关，那么粒子在圆内运动的时间t＝nθ2π·T。

由以上讨论可知，只有在“粒子转一圈后从小孔射出”的条件下，才满足粒子的速度越大，在圆内运动的时间越短。即k＝1，n＝3时，则α＝2π3，θ＝π－α＝π3，所以最短时间为tmin＝T2＝πmqB。然而，本题没有这个限制条件，那么可能出现速度变大、粒子在圆筒内转的圈数更多而运动时间更长的情况，所以不能简单地认为粒子速度越大，在圆内运动的时间越短，故选项C错误。在选项的设计上，将选项C置于选项B之后，学生很容易受思维定式的影响而犯错。

本题虽然源于学生熟悉的情境，但在试题设计上展现了创新，要求考生全面考虑粒子在圆形区域磁场内运动的各种可能情形。该题的设计对考生的发散思维能力提出了较高的要求，是一道能有效考查物理核心素养中“科学思维”能力的优秀题目。［2］

参考文献

［1］教育部教育考试院. 高考试题分析：理科综合（2024年版）［M］. 北京：语文出版社，2023：20-22．

［2］段石峰.带电粒子在“电磁场”中运动模型的实例分析［J］.高中数理化，2022（24）：36-39.