矩形的折叠问题

基本模型

折叠的本质是轴对称，矩形折叠后会形成具有轴对称关系的全等图形，边角关系还会发生重组，生成等腰三角形和直角三角形.对于折叠的矩形，根据折痕或翻折后对应点的位置进行分类，通常有如下四种基本模型.

模型1：如图1，折痕是矩形的对角线AC.

模型2：如图2，点C的对应点C'落在矩形的边上.

模型3：如图3，点C的对应点C'落在矩形的对角线BD上.

模型4：如图4，点C的对应点与矩形的顶点A重合.

其他矩形折叠后的图形可以看成是由这四种基本模型变式而成的.在这四种基本模型中，依次对应着图5中的四个基本图形，都是等腰三角形和直角三角形相邻. 结合矩形、等腰三角形、直角三角形、全等三角形、轴对称等知识，矩形的折叠问题可迎刃而解.

模型应用

例1 如图6，在矩形ABCD中，点E在边AB上，将矩形ABCD沿直线DE折叠，点A恰好落在边BC上的点F处，若AE = 5，FB = 3，求：（1）CD的长；（2）AD的长.

解析：（1）由折叠可知△FED ≌ △AED，则EF = AE = 5，DF = AD.

在Rt△BEF中，可得BE = [EF2-BF2=52-32=4]，易得CD = AB = 9.

（2）设AD的长为x，由（1）可知，BC = DF = AD = x，则CF = x - 3.

在Rt△CDF中，根据勾股定理可得[DF2=CD2+CF2]，

即[x2=92+（x-3）2]，解得 x = 15.因此，AD的长为15.

例2 如图7，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C落在同一平面内的点E处，BE与AD交于点F，再将△DEF沿DF折叠，点E落到了点G处，若DG平分∠BDA，求∠BDC的度数.

解析：由折叠可知△EBD ≌ △CBD，△GFD ≌ △EFD，

则∠EBD = ∠CBD，∠FDG = ∠FDE.

由DG平分∠BDA，可证∠FDG = ∠BDG = ∠FDE，易证∠FDB = ∠FBD.

设∠EDF = x°，则∠FDG = ∠BDG = ∠EDF = x°，∠EBD = ∠FDB = 2x°，∠EDB = 3x°.

由∠FBD + ∠BDE = 90°，可得2x° + 3x° = 90°，解得 x = 18，

则∠BDC = ∠BDE = 3 [×] 18° = 54°.

分层作业

难度系数：★★★ 解题时间：6分钟

如图8，在矩形ABCD中，AB = 4，AD = 6，点P是CD上一点，将△PBC沿BP折叠得到△PBC'，BC'交AD于点M，PC'交AD于点N，若NC' = ND，求BP的长. （答案见本页）

（作者单位：开原市民主教育集团里仁学校）