例析密度、压强、浮力综合计算

[原题呈现]

例 水平桌面上放着一个底面积为100 cm2的容器，倒入12 cm深的水。如图1甲所示，用弹簧测力计挂着一个圆柱体从水面缓慢匀速浸入水中；根据测得的数据绘制出弹簧测力计示数F与圆柱体下表面距液面高度h的关系如图1乙所示。（ρ水 = 1.0 × 103 kg/m3，g = 10 N/kg）求：

（1）圆柱体恰好浸没时，圆柱体受到的浮力；

（2）圆柱体恰好浸没时，容器底受到的水的压强；

（3）圆柱体的密度。

[破解策略]

本题考查了阿基米德原理、液体压强公式的应用，利用好称重法并且能从图象得出相关信息是解题的关键。

（1）由图象可知，当h = 0 cm时，圆柱体处于空气中，弹簧测力计示数F1 = 3 N，则圆柱体重力G = F1 = 3 N；当h = 5 cm后，弹簧测力计的示数F2 = 2 N且不变，说明此时圆柱体浸没在水中，对圆柱体进行受力分析，其受到拉力和浮力的合力与其重力平衡，则圆柱体浸没后受到的浮力F浮 = G - F2 = 3 N - 2 N = 1 N。

（2）圆柱体恰好浸没时，根据阿基米德原理，由F浮 = G排 = ρ液gV排可得，圆柱体排开水的体积V排 = [F浮ρ水g]" = [1 N1.0×103 kg/m3×10 N/kg] = 10 - 4 m3 = 100 cm3，则水面升高的高度Δh = [V排S容] = [100" cm3100" cm2] = 1 cm，则此时水的深度h = h0 + Δh = 12 cm + 1 cm = 13 cm = 0.13 m（注意单位换算），容器底受到水的压强p = ρ水gh = 1.0 × 103 kg∕m3 × 10 N/kg × 0.13 m = 1.3 × 103 Pa。

（3）圆柱体浸没时，圆柱体的体积等于排开水的体积，即V = V排 = 100 cm3 = 1 × 10 - 4 m3。根据G = mg可得圆柱体的质量m = [Gg] = [3 N10 N/kg] = 0.3 kg，圆柱体的密度ρ = [mV] = [0.3 kg1×10-4m3] = 3 × 103 kg/m3。

[总结提升]

考点一：求解浮力大小

常见浮力的求解方法有四种，分别是：产生原因法（F浮 = F向上 - F向下）、示数差法（F浮 = G - F拉）、阿基米德原理法（F浮 = G排 = ρ液gV排）、受力分析法（结合受力情况，列出受力平衡关系式）。现将快速确定使用哪种方法的思路分析如下。

首先，如果题目中提到了物体在液体中的深度、物体的表面积（尤其是上、下表面积），那么优先用产生原因法，此时还要结合液体压强和液体压力公式。其次，如果题目中出现了弹簧测力计，或者有描述弹簧测力计示数变化的图象（如上文例题），那么优先考虑示数差法（浮力实验题大多使用该方法）。再次，阿基米德原理法可以说是所有浮力题中必考的方法，所以同学们需要将F浮 = G排 = ρ液gV排这个公式牢记于心，使用时尤其要注意书写原始公式F浮 = G排，注意g的取值。最后，在题目中已知较少的情况下，应优先考虑受力分析法，一般这种情况常伴随力与运动的分析，例如对漂浮、悬浮、沉底三种静止状态的分析和对上浮、下沉两种动态情况的分析。在受力分析时，还要注意外力存在的情况，比如在水中按压和受支持力的情况。

考点二：求解压强大小

液体压强的公式较为简单，需要注意以下3点。

1. 公式p = ρ液gh中，ρ的单位要用kg/m³，h的单位要用m。h在公式中指深度而非高度，即从被测位置到自由液面（与大气相连）的距离。

2. 形杯问题（敞口或缩口容器）中的液体压强问题，即便给出了容器底面积，也不要用p = [FS]求解，这是因为容器侧壁是倾斜的，容器底部受到的液体压力F不是液体重力，真正的液体压力是以容器底为底面积、液体高为高度的那一部分柱形液体的重力。

考点三：求解密度大小

求密度的题目往往不会直接给出物体的质量和体积，需要同学们根据浮力相关知识点进行求解。

对于质量，我们需要结合重力求解，根据公式G = mg计算出质量的大小。但题目中往往很少直接给出重力，一般是结合受力分析才能得到。比如，我们需要在物体漂浮或悬浮时对物体进行受力分析，重力与浮力二力平衡，根据浮力的求解，间接求出重力，从而计算出质量。

对于体积，它的求解方式更加依赖浮力。比如我们需要在物体浸没时，找到对应的浮力，再根据F浮 = G排 = ρ液gV排这个公式间接求出V排。又因为物体处于浸没状态，所以此时V排 = V物。

若物体漂浮没有完全浸没，那么求解物体密度时还有一个小技巧：根据二力平衡F浮 = G物可推导出ρ液gV排 = ρ物gV物，即ρ液V排 = ρ物V物，可写为[ρ物ρ液=V排V物]，即物体的密度与液体的密度之比等于物体浸没在液体体积V排与物体体积V物之比。

[变式探究]

1. 将同一个长方体放入A、B两种液体中，物体都漂浮，它在A、B两种液体中露出液面的体积分别是它的体积的[12]和[13]，则A、B两种液体的密度之比为（ ）。

A. 4∶3 B. 2∶3 C. 3∶2 D. 3∶4

2.如图2所示，弹簧测力计下面挂一实心圆柱体，将圆柱体从盛有水的容器上方离水面某一高度处缓缓下降（其底面始终与水面平行），使其逐渐浸没入水中某一深度处，如图3是整个过程中弹簧测力计的示数F与圆柱体下降高度h变化关系的数据图象。（容器厚度不计，g = 10 N/kg）求：

（1）圆柱体浸没时受到的浮力。

（2）圆柱体的密度。

（3）不考虑水面上升，圆柱体在刚浸没时下表面受到的水的压强。

答案：1. A 2. （1）8 N" "（2）1.5 × 103 kg/m3 （3）400 Pa

（作者单位：沈阳市第一三四中学）