用不等式组制订最优方案

在生活中，我们经常会遇到制订最优方案的问题. 此时若结合不等式组相关知识，则可做出最优决策，最大程度地省钱或赚钱.

典例分析

例1 某校组织师生参加夏令营活动，现准备租用[A]，[B]两种型号客车（每种型号的客车至少租用一辆）. [A]型客车每辆租金[500]元，[B]型客车每辆租金[600]元. 每辆A型客车坐满后载客40人，每辆B型客车坐满后载客55人. 若该校计划租用[A]型和[B]型两种客车共[10]辆，总租金不高于[5500]元，并将全校[420]人载至目的地. 该校有几种租车方案？哪种租车方案最省钱？

解析：设租用[A]型客车[m]辆，则租用[B]型客车（10 - m）辆，

由题意得[500m+60010-m≤5500，40m+5510-m≥420，]" 解得[5≤m≤263].

[∵m]取正整数，[∴][m的值可以为5]，[6]，[7]，[8]，[∴]共有[4]种租车方案.

设总租金为[w]元，则[w=500m+600（10-m）=-100m+6000].

[∵][-100lt;0]，[∴w]随着[m]的增大而减小，[∴]当[m=8]时，[w]的值最小，为5200元，

[∴]租[8]辆[A]型客车、[2]辆[B]型客车最省钱.

例2 2023年“地摊经济”成为社会关注的热门话题，“地摊经济”有着启动资金少、管理成本低等优点，成为许多创业者的首选. 甲经营了某种品牌小电器生意，购进1台A种品牌小电器需要15元，购进1台B种品牌小电器需要20元，销售1台A种品牌小电器获利3元，销售1台B种品牌小电器获利4元.

（1）甲用不少于2750元且不超过2850元的资金一次性购进A，B两种品牌小电器共150台，求购进A种品牌小电器数量的取值范围.

（2）在（1）的条件下，所购进的A，B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，请说明甲合理的采购方案有哪些，并计算哪种采购方案获得的利润最大，最大利润是多少.

解析：（1）设购进[A]种品牌小电器[a]台，则购进B种品牌小电器（150 - a）台.

由题意得[15a+20（150-a）≤2850，15a+20（150-a）≥2750，]解得[30≤a≤50]，

∴购进A种品牌小电器数量的取值范围是[30≤a≤50].

（2）设获利[w]元，由题意得[w=3a+4（150-a）=-a+600].

∵所购进的A，B两种品牌小电器全部销售完后获得的总利润不少于565元，

∴[-a+600≥565]，解得[a≤35]，∴[30≤a≤35].

[∵w]随[a]的增大而减小，[∴]当[a=30]时获利最大，[w]最大[=-30+600=570]（元）.

因此，甲合理的采购方案是购进[A]种品牌小电器30台、[B]种品牌小电器120台，最大利润是570元.

分层作业

难度系数：★★★★ 解题时间：10分钟

1. 学校通过劳动教育促进学生树德、增智、强体、育美全面发展，计划组织八年级学生到“开心”农场开展劳动实践活动. 到达农场后分组进行劳动，参加本次实践活动的老师有6名，学生有234名. 劳动实践结束后，学校在租车总费用2300元的限额内，租用客车送师生返校，每辆车上至少要有1名老师. 现有甲、乙两种大型客车，它们的载客量和租金如表1所示. （1）租车返校时，既要保证所有师生都有车坐，又要保证每辆车上至少有1名老师，则共需租车 "

辆；（2）学校共有几种租车方案？最少租车费用是多少？（答案见第33页）

难度系数：★★★★★ 解题时间：20分钟

2. 某市A，B两个蔬菜基地得知C，D两个灾民安置点分别急需蔬菜240吨和" " "260吨的消息后，决定调运蔬菜支援灾区，已知A蔬菜基地有蔬菜[200吨]，B蔬菜基地有蔬菜[300吨]，现将这些蔬菜全部调运至C，D两个灾区安置点，从A地运往C，D两处的费用分别为每吨20元和25元，从B地运往C，D两处的费用分别为每吨15元和18元. 设从B地运往C处的蔬菜为x吨. （1）请填写表2，并求两个蔬菜基地调运蔬菜的运费相等时x的值；（2）设A，B两个蔬菜基地的总运费为w元，求出w与x之间的函数关系式，并求总运费最小的调运方案. （答案见第33页）

（作者单位：沈阳市第一四五中学）