“内隐性课程资源”的基本要素与开发措施的研究

［ 摘 要 ］内隐性课程资源包含了数学文化、过程性知识、材料背景、数学逻辑知识与教学环境等元素。文章从“创设问题情境，营造良好氛围”“突出思想方法，彰显数学文化”“借助猜想归纳，厘清数学逻辑”“设计变式训练，引申推广知识”四个方面探索内隐性课程资源的开发与应用。

［ 关键词 ］内隐性课程资源；教学；数学文化

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出：课程资源既包括教材、教辅、教师教学用书、教学设计、教学案例、课外读物等纸质资源，又包括音频、视频、数学软件等数字化资源；既包括用于巩固练习的资源，又包括用于拓宽视野的数学科普类资源 ［1］ 。其中，教材、教辅、课外读物等是外显性内容，用于巩固练习的资源 （如学生的错误认知） 和拓宽视野的数学科普类资源 （如数学文化、材料背景、数学逻辑思想等） 是内隐性内容。课程资源是课程设计、实施与评价的支持体系，不同标准可将课程资源分为不同的种类。笔者着重研究内隐性课程资源的构成元素以及开发利用措施。

一、内隐性课程资源的概述

内隐性课程资源是指潜藏在知识深层的内容，与外显性课程资源相反，内隐性课程资源缺乏可视性，需要师生用心去体会 ［2］ 。如图 1，外显性课程资源是波浪线 （水面）上可以用肉眼察觉到的内容，而波浪线 （水面） 以下则为内隐性课程资源，虽然无法用肉眼去识别，但是它们真实存在，对学生的教学学习有很大的影响。

二、内隐性课程资源的基本元素

1.数学文化元素

从数学本身来看，它既是一门学科又是一种文化。为什么说数学是一种文化呢？一方面，从文化的定义出发，任何科学均属于文化的一部分，数学对推动人类社会的发展起到重要作用，因此可以将数学作为一种文化来推广；另一方面，数学学科可向社会渗透其他类别的文化，转化后的数学能给社会生产带来很大的经济效益。

在数学文化这一内隐性课程资源中值得教师关注、开发与利用的重要元素包括数学思想方法、数学价值观、数学精神、数学美等，这些都是构成数学文化的重要因素。

数学思想方法的内隐性主要体现在思想潜藏在人的思维的深层，方法浮于表面，数学思想与方法互相依存；数学价值观是指人们对数学学科价值的认可程度，对促进人类发展具有全方向、多方位的推动作用。

2.过程性知识元素

绝对主义数学观认为数学理论形成后就成了一种真理，这种真理与时代、地域毫无关系；数学是一种结论或产品，表现形式为静态、外显的；数学教学就是教师将知识传递给学生，让学生精准接受的一种结论式教学范式。

可误主义数学观认为数学真理属于一种相对性的内容，受其结构与逻辑的制约；认为数学产生于问题，而问题的描述离不开语言建构与模型应用，这是流动的过程；数学教学是知识的过程性教学，教师既要传递结果，还要引导学生厘清数学问题、语言、方法与命题的逻辑链。

3.材料背景元素

材料背景元素包括现实生活背景与其他学科背景。一般而言，这两个背景并不会以明确的形式表述，因此，材料背景元素属于内隐性课程资源 ［3］ 。数学概念、命题等与人们的生活有着千丝万缕的联系，教师将与之相关的生活背景有意识地应用到课堂中，往往能将它作为知识的“先行组织者”，帮助学生从情感上更好地理解、同化、顺应新知。

材料背景元素的开发既要厘清知识背景，又要让学生学会选择与辨别背景。每一个概念或命题的形成都有着更多的背景因素，教师要学会辨认这些背景，择取最适合的材料作为课堂应用的素材，并避免一些不切实际、华而不实的材料。

4.数学逻辑知识元素

逻辑元素是指渗透在数学内容中的一些逻辑，数学知识与逻辑属于不可分割的共同体。从表现形式上来看，知识具有外显性，逻辑属于内隐的部分，逻辑支撑着整个数学理论体系。一些学困生看似是对数学知识的理解困难，实则是数学逻辑思维能力不够，导致学习的障碍。因此，开发知识逻辑元素可以有效清理学生在数学逻辑上的不足，起到促进学生思维发展的作用。

5.教学环境元素

教学环境是典型的内隐性课程资源，建构促进学生学习的良好环境就是对这种资源的开发。从情境学习论来看，知与行是交互的，情境可以是现实中的生活背景，也可以是学生已掌握的知识背景。情境学习理论充分揭示了学习与环境的依存关系，反映了内隐性课程资源在教学中的重要性。

当然，教学环境的开发可从多维度开展，比如开发知识背景中的问题情境，建立师生平等关系的对话情境，营造师生互动的社会情境等，这些都是营造良好学习氛围和提高教学成效的重要举措。

三、内隐性课程资源的开发措施

1. 创设问题情境，营造良好氛围

数学课堂中的情境主要包括生活实际情境、问题情境、科学知识情境等，教师设计时要考虑如下几个因素：

（1）与教学内容息息相关

有些教师情境创设得很好，有丰富的场景、画面等，也能激发学生的学习兴趣，但与教学内容大相径庭，存在“去数学化”的现象，这种情境看似热闹，实则无法达到预期的教学效果。

（2）要有情节和问题

缺乏情节的情境无法激发学生的参与意识，缺乏问题的情境称不上教学情境。创设情境的目的在于激发学生的学习动机，创设的情境要同时具备情节与问题两个条件。 比如，在应用题教学中，教师可以将一些问题进行适当改造，让问题体现在丰富的情境中，让教学既具生活意义又蕴含教育价值。

（3）需体现教育价值

情境创设还要具有真实感与教育意义。真实、可信的情境能引发学生的共鸣，让学生对学习产生兴趣。当前数学教学以培养学生的数学核心素养为目标，即让学生在数学学习中形成正向的品格与持续发展的能力，因此在情境中融入一些富含教育意义的素材是促进学生个体发展的重要措施。

案例1 “角的度量”的教学

“角的度量”教学是让学生自主应用三角尺来测量120°的角，大部分学生能借助三角尺中的30°与60°的角获得结论，但是利用45°的三角尺无法测量出120°的角。由此可以看出，测量角的度数凭借三角尺还远远不够，量角器才是解决测量角的度数问题的重要工具。

以上教学过程让学生理解“量角器”形成的必要性，但对小学生而言，此情境不够丰富，难以从真正意义上调动学生的学习兴趣。因此，笔者创设了一个情境：借助信息技术展示一个倾斜度较小的滑梯和一个倾斜度较大的滑梯，问学生想要玩哪个滑梯？学生不约而同地选择了第二个滑梯，因为它看起来更刺激一些。然后，笔者展示第三个滑梯，这个滑梯的倾斜度更大，接近一个展开的梯子。（学生依然表示喜欢第二个滑梯）

设计意图：滑梯是小学生最喜欢的娱乐设施之一，这是一个贴近学生生活实际的情境，具有丰富的情节与问题，成功地引发了学生的探索欲。显然，该情境属于内隐性课程资源，学生通过图片的识别，能确定自己喜欢玩的滑梯。学生通过对滑梯角度的探索，成功地将注意力转移到本节课的知识探索中来。 这样，就使得“量角器”的引入水到渠成。

2. 突出思想方法，彰显数学文化

数学思想方法、史料、数学美与数学精神等属于数学文化的范畴。

教学时，教师应有意识地将数学文化润物细无声地渗透在教学的每个环节，让学生在潜移默化中感知数学美，提升审美情操；体验数学思想方法，提升解题能力；领悟数学精神，提升人格品质等。

就数学思想方法来说，它犹如“流淌的血液”，存在于数学教学的每一个环节，忽略数学思想方法渗透的课堂不是成功的课堂。小学数学涉及的数学思想主要有模型思想、数形结合思想、符号思想、化归思想等，它们更多地体现在解决问题的过程中。

案例2 “分数的运算”的教学

问题：求1/2+1/4+1/8+1/16+ …的值。

设计意图：本题意在让学生通过观察发现分母的规律，但小学生的逻辑思维能力较弱，他们以直观思维为主。因此，在教学指导时，教师鼓励学生通过画图的方式来解决这道题，即将一条直线视为 1，取其一半为1/2 ，再取剩下的一半为1/4 ；经过多轮取值后，学生惊喜地发现式子1/2+1/4+1/8+1/16+ … 的本质实则为对一条直线不断取其一半，其结论为1。

学生画图的过程属于知识外显的过程，但应用化归思想、数形结合思想的过程则为内隐性课程资源的利用。本案例说明数学思想方法的应用是复合的，合理应用好数学思想方法不仅能提升学生的数学文化，还进一步凸显了课程隐性资源的重要性。

3. 借助猜想归纳，厘清数学逻辑

推理、判断等属于典型的数学逻辑内容，它们一般不会以文字的形式呈现在教材中，而是以一种内隐的形式隐含于教学过程中。教学中教师常常用不完全归纳法来进行数学猜想与推理，虽然这并不严谨，但是对学生而言异常重要，它能让学生更好地理解教学内容。

案例 3 “三角形三边关系”的探索

如图 2，学生以小组合作的方式从 4 根小棒中任选 3 根摆成三角形，对操作过程进行记录、归纳、猜想。在此基础上，教师引导学生画任意三角形，以测量、计算的方式验证猜想，获得结论 — —三角形的任意两边之和大于第三边。基于此，要求学生思考：为什么两边之和不能等于或小于第三边呢？

学生通过小棒的摆放探索三角形三边关系的过程属于不完全归纳，此过程虽然只是让学生形成初步猜想，但是这个猜想相当重要，为接下来的验证、思考与反思奠定了基础。由此可以看出数学逻辑虽然看不见、摸不着，但真切地存在于数学知识中，每一个知识的形成都离不开数学逻辑的辅助。

4. 设计变式训练，引申推广知识

数学学习若局限于知识的表面，则无法达到深度学习的目的，学生一旦遇到综合程度高的问题就无从下手。数学知识的引申就是从纵横两个角度拓展知识的过程，引申的目的在于扩大问题本身的教育价值，让学生通过对问题的探究，提高解题能力，塑造正向的数学观 ［4］ 。

变式训练是引申推广知识的重要方法之一，它通过对原有问题条件或结论的改变，发散学生的思维，让学生感知数学学习中的“变与不变”，这是促进学生形成举一反三能力的关键。

案例4 根据信息回答问题

问题：已知28元能购买4千克橘子，苹果的单价为5元/千克，哈密瓜的单价为8元/千克，12元能购买2千克桃子。若各买1千克这4种水果，需支付多少钱？

变式1：小明带了20元钱去购买橘子与苹果，请问他有哪些购买方式？

变式2：从以上4种水果中任选至少 3种搭配果篮，让水果的价格恰巧为60元，有几种搭配方法？写出算式。

变式 2 对于学生而言确实有一定难度，教师应做好引导与点拨工作，为学生的思路指明方向。这是提升学生思维的契机，学生通过对问题的深入探索，不断深化对各种组合的认识，为后续学习奠定了基础。值得注意的是教师应充分关注学生的个体差异，尽可能设计难易程度适中的变式训练，以拓展学生的视野，提高学生的参与度。

总之，开发内隐性课程资源是教学设计必须思考的内容，也是实施数学教学不可或缺的环节。教师应从整体的角度思考教学方式方法，注重结构化教学，充分挖掘内隐性课程资源，以提升学生的数学核心素养。

参考文献：

［1］中华人民共和国教育部 . 义务教育数学课程标准 （2022 年版）［S］.北京：北京师范大学出版社，2022.

［2］华志远 . 整合内隐性课程资源，促进学生的自我构建 — —“空间几何体 的 表 面 积 ” 教 学 实 录 与 评 析［J］.中小学数学 （高中版），2019（06）：38-41.

［3］喻平 .论内隐性数学课程资源［J］.中国教育学刊，2013（07）：59-63.

［4］吴永军 . 关于深度学习的再认识［J］.课程·教材·教法，2019，39（02）：51-58+36 .