跨学科主题式学习路径思考

［摘 要］《课程方案》倡导强化学科实践，引导学生参与学科探究活动，经历发现问题、解决问题、建构知识、运用知识的过程，体会学科思想方法。文章以杭州亚运会乒乓球“比赛场次”问题为例，开展综合与实践活动，旨在探究学习数学化的路径，并让学生从数学视角完整经历研究真实问题的过程。活动分为三个阶段：首先，明确研究的真实问题；其次，引导学生综合运用已有知识和多种方法分析并解决问题；最后，学生自主设计本校班级足球赛活动赛制，通过迁移应用和模型构建，实现跨学科融合。这一过程不仅能提升学生的数学思维能力，还能提高他们将数学知识应用于实际问题的能力，体现了数学教育的实践性和创新性。

［关键词］跨学科主题学习；学习路径；数学模型：比赛场数

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）17-0062-06

【教学内容】

北师大版教材六年级上册“数学好玩”第85页。（如图1所示）

【课前思考】

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）提出，引导学生在问题解决的过程中，形成发现、提出、分析、解决问题的能力。教材通过引入学生感兴趣的“乒乓球比赛”话题，为学生提供了探索的空间。教师应引导学生从简单情境出发，寻找规律，解决问题，并帮助学生领悟“化繁为简”的学习策略。

在学习本课内容之前，学生已经通过1～5年级的各册教材的“数学好玩”板块学习了一些解决问题的基本策略和方法。例如，在学习一、二年级教材中的“做个加法表”“做个减法表”“做个乘法表”后，学生掌握了把算式有规律地整理在表格中的方法；在学习三年级教材中的“有趣的推理”“搭配中的学问”后，学生学会了在表格中进行简单的判断和推理，并能结合图形与字母画图分析问题；在学习五年级教材中的“图形中的规律”后，学生已经学会在线段图中有序地数数和思考，能够从简单的情境入手，寻找规律，解决问题。学生的已有经验为本课的学习奠定了基础，本课将引导学生在理解规则的基础上再次经历“从简单情形开始”解决稍复杂的搭配问题，学会解决问题的策略。通过数学运算和推理，学生能够感受到体育与数学的互融互通，促进数学思维向其他领域的迁移。

《义务教育课程方案（2022年版）》（全文简称《课程方案》）提出，加强知识学习与学生经验、现实生活、社会实践之间的联系，注重真实情境的创设，增强学生认识真实世界、解决真实问题的能力。因此，聚焦杭州亚运会等热点赛事，积极引导学生在真实情境中发掘并提出数学问题，能打破生活问题与数学问题之间的壁垒。在解决问题的过程中，学生要寻找不同问题之间的关系，建立比赛场次相关问题的数学模型，经历一个数学化全过程。这样的教学设计不仅提升了学生的数学素养，还培养了他们将数学知识应用于实际问题的能力，体现了数学教育的实践性和创新性。

【教学目标】

1.结合体育比赛赛程，了解循环赛、淘汰赛规则。

2.能用列表、画图等方式探究循环赛中蕴含的简单规律，并能运用准确恰当的数学语言表达规律。

3.在分析比较、抽象概括等思维活动中，体会化繁为简的数学思想方法，发展模型意识。

【教学重点】

能用列表、画图等方式探究循环赛和淘汰赛中蕴含的简单规律，并能运用准确恰当的数学语言来表达。

【教学难点】

体会化繁为简的数学思想方法，增强模型意识。

【教学过程】

一、链接经验，引出问题

师：大家知道2023年在杭州举办了一场重要的体育赛事是什么吗？

生（齐）：亚运会。

师：没错。关于这次亚运会，你们都知道些什么？

生1：中国获得的金牌最多。

师：多少枚呢？

生1：201枚。

生2：杭州亚运会的吉祥物是“琮琮”“莲莲”“宸宸”。

师：今天，让我们跟随琮琮、莲莲、宸宸，用数学的视角来观察亚运会。

师（出示拱墅运河体育公园体育馆图）：这是杭州亚运会乒乓球比赛场馆。杭州亚运会乒乓球比赛共设7个项目，其中男子单打比赛特别受到球迷的关注。届时，将有64名选手参与这场激烈的角逐。如果每两名选手之间都需要进行一场比赛，那么总共需要进行多少场比赛呢？

生3：“每2名选手之间要进行一场比赛”是什么意思？

生4：就是2名选手进行一场比赛。

师：能举个例子吗？

生4：3名运动员比赛，1号与2号比一场，1号与3号比一场，2号与3号也要比一场。

师：在体育赛制中，每两名运动员之间要进行一场比赛就叫单循环赛制。

【思考：聚焦新近发生的、备受关注的热点赛事——亚运会，一方面，通过链接学生的生活经验，让学生在真实情境中通过抽象概括提出数学问题；另一方面，为“用数学的眼光看亚运会”奠定基础，建立体育与数学学科之间的联系，引导学生从数学的角度去观察和思考，体会数学在其他学科中的广泛应用，实现跨学科的综合发展。】

二、自主探究，发现规律

（一）单循环赛

1.化繁为简

师：如果采用单循环赛制，64名选手一共要比赛多少场呢？（学生沉思）

师：看来大家都感觉这个问题很难。是不是觉得64名选手有点多，显得有点复杂，那怎么办？

生1：可以从人数少的情形开始研究。

师：这是一个好提议。从人数少的情形开始研究找到规律后，再去解决这个问题。那么，我们就从4名选手开始研究。

课件出示（如图2）：

（学生独立研究，教师巡视）

【思考：结合亚运会比赛实际，将64名选手两两比赛的问题转化为4名选手两两比赛的问题，引导学生经历从简单情形开始到解决稍复杂的搭配问题。这样，通过真实情境的引入让学生明确要研究的真实问题，再综合运用已有知识经验分析问题，从而找到同类题型的规律并运用规律解决真实问题，为学生掌握“化繁为简”的解题策略打下基础。】

2.探索规律

师：每位同学都有自己的想法。老师选取了几幅作品，先来看数线段的方法，你能看懂吗？（出示图3）

生1：我们先看A比赛了多少场，以A为端点的线段有3条，比赛了3场；再看B，以B为端点的线段也有3条，但B与A已经比过一场了，所以与B相关且还没计数的有2场；C与A、B也已经比了，只剩与D比赛的1场；至此，D与其他选手都比过了，所以4名选手一共比了3+2+1=6（场）。

师（出示表1）：这位同学用的也是数线段法，怎么列的算式不一样呢？

生2：这里是各点之间的连线，2个人只用比1场，后来又来一人，3个人就增加了2场，4个人就再增加3场，所以是1+2+3=6（场）。

师：原来每增加1人，增加的场数就比现在的总人数少1。虽然这两种都是数线段的方法，但思考方式略有不同，这两种方法都是正确的。

师（出示图4）：你们能理解这幅图吗？

生3：从1出发分别和2、3、4连1条线，然后再从2出发分别和3、4连1条线，最后再从3出发和4连1条线。这样不会漏数，也不会多数。

师：图中的一条线表示什么？

生4：1场比赛。

师：一共比赛了几场？

生5：6场。

师：刚刚老师看到有位同学写了“4×3=12（场）”，对吗？

生6：不对。有4名选手，每位选手比3场，但2名选手之间的比赛只进行1次，所以还要除以2。

师：以图4中的1与2的连线为例，1号选手与2号选手比一场，2号选手也要与1号选手比一场，这条线数了2次，计算场次时计1场即可，所以还要除以2。通过连线确实也得出一共比赛6场。

师（出示表2）：还有同学用表格的方法，好像有点复杂，谁看明白了？

生7（边指边说）：这个“√”表示选手1与选手2比一场，这个“√”表示选手1与选手3比一场，这个“√”表示选手1与选手4比一场，也就是说这一列表示一共比了3场；这个是表示选手2与选手3比一场，这个表示选手2与选手4比一场，这一列一共比了2场；这个“√”表示选手3与选手4比1场。最后，3+2+1=6（场）。

师：他说得清楚吗？

生（齐）：很清楚！

师：我们给他送上掌声！但老师有个疑问，为什么这些格子里不画“√”呀？

生7：首先这里是因为自己跟自己不能比，所以用斜杠表示，空着的格子是因为对应的2名选手已经比过了。

师：看了其他同学的作品，请你们把自己的作品再完善、修正一下。

师：在解决4名选手单循环比赛场数问题时，有的同学连线，有的同学数线段，有的列表……你更喜欢哪一种方法？

生8：数线段。

师：喜欢数线段的请举手——哇！看来英雄所见略同啊！

【思考：在研究只有4名选手的单循环赛问题时，先让学生思考，然后收集并呈现学生画图、列表、连线等多样化的解题策略，这样可以培养学生多元化和丰富的数学思维。】

3.概括规律

师：如果还想知道有5名、6名、7名、8名选手参加比赛的情况，该怎样解决呢？接下来咱们分组研究。

学生板书：

5名 4+3+2+1=10（场）

6名 5+4+3+2+1=15（场）

7名 6+5+4+3+2+1=21（场）

8名 7+6+5+4+3+2+1=28（场）

师：你们同意这个解法吗？

生（齐）：同意。

师：从中发现了什么？

生1：比赛场数等于从比赛人数少1的数开始依次加，加的数比前一个数少1，直至加到1为止。

师：请结合例子来说明。

生1：比如有8名选手比赛，那就从7开始加，依次加6，加5……一直加到1。

师：他找到比赛场次与人数之间的联系，发现了规律。如果是64人呢？能应用规律解决吗？

生2：63加62加61加……一直加到1为止。

师（板书：63+62+…+6+5+4+3+2+1）：这么长的算式，答案是多少呀？

生3：（首项+末项）×项数÷2。

师：怎么理解“64×63÷2 ”？

生4：每名选手比63场，有64名选手，64个63，因为一半重复了，所以要除以2。

师：等于多少呢？

生5：2016。

师：[n]名选手呢？怎么计算场数？

生6：[n]×（[n]-1）÷2。

生7：（[n]-1）+（[n]-2）+…+3+2+1=[n]×（[n]-1）÷2。

师：同学们真会思考！通过探究，我们成功地解决了单循环赛中比赛场次的问题。在遇到这种复杂问题时，虽然同学们用的方法不同，但目的是一样的，都是从简单情形入手，寻找规律，再应用规律解决问题，这就是在化繁为简。同学们，这么复杂的问题都能被你们轻松搞定，看来化繁为简真是一种解决问题的好策略。

【思考：在交流、欣赏、质疑、讨论中，教师分别建立了4、5、6、7、8名选手比赛的数学模型，在肯定了学生的解题方法后，又把问题抛给学生：如果是64名选手呢？引导学生对比赛场数的数学思维从感性具体发展到感性一般，从理性具体发展到理性一般，最终发现“[n]×（[n]-1）÷2”这一非常简洁的计算方法。这是借数学运算和推理让学生体会到体育和数学的互融互通，指向更高层次的跨学科融合。】

（二）淘汰赛

师：俗话说得好，理想很丰满，现实很骨感，看！这是亚运会乒乓球赛程安排（出示图5）。你看到什么？

生1：淘汰赛。

师：什么是淘汰赛？

生2：淘汰赛就是一人与另一人比赛，一人赢了，另一人输了，输了的人就不能继续比赛了。

师：输了就出局，赢了就继续比赛。

课件出示（如图6所示）：

师（出示图7）：这是一位同学的想法，你能看懂吗？

生3：每2人比赛就淘汰1人，64÷2=32（场）表示就是64进32，同理得出32进16、16进8、8进4、4进2的比赛场数，最后2人比赛1场决出冠军，比赛场数为32+16+8+4+2+1=63（场）。

师：其他同学同意吗？

生（齐）：同意。

师：还有别的想法吗？

生4：总共64人，要产生一个冠军，所以比赛场数是64-1=63（场）。

师：这种方法对吗？为什么？

生5：我认为这种方法是对的，因为最后要决出1位冠军，就要淘汰63人，所以要比赛63场。

师：如果是8名选手采用淘汰赛，需要几场？

生6：7场。

师：7名选手呢？

生7：6场。

师：n名选手呢？

生8：n-1场。

师：发现了什么？

生9：淘汰赛的话，比赛场数等于比赛人数减1。

师：在本届亚运会的赛场上，经过几轮激烈争夺，你们知道最终冠军是谁吗？（学生摇头）

师：不知道也没事，我请他来了（出示王楚钦夺冠领奖图，图略），这就是王楚钦，他夺得了这枚分量十足的男子单打金牌。不仅如此，他还夺得了本届亚运会的男团、男双、混双的金牌，成为当之无愧的四冠王。（通过介绍运动员奋勇拼搏的事迹，给予学生成长启示，实现学科育人的价值）（学生情不自禁地鼓掌）

【思考：在解决淘汰赛场数问题时，对学生提出的两种解题策略进行比较是非常有价值的。通过比较，学生可以体会到淘汰赛背景对理解问题和探求方法的启发价值。通过任务链的逐步实施，伴随问题链的推进，学生的思维不断深入，他们对比赛场数的数学化建模意识也得到了提升。从粗糙的猜想到严谨的算法，这是一个非常大的进步，大大提升了学生的思维层次。】

三、迁移应用，解决问题

师：亚运会赛事很精彩，咱们实验小学近期组织的班级足球赛那也是搞得有声有色。现在请你为学校三年级8个班足球比赛设计一种赛制，你会怎么设计？

生1：每个班至少要比2场，第1场输了也还可以比第2场，如果两场都输了就退出比赛。

师：你是不是想说淘汰赛制偶然性太大，有一定运气成分，采用淘汰赛不太合适？

生1：是的。

师：那我们用单循环赛制，你们觉得怎么样？

生2：要比的场数太多了。

师：用我们前面得到的规律求8个班单循环比赛，要比几场？

生3：28场。

师：比赛时间这么长，影响学习了可不好。

（学生纷纷点头表示赞同）

师：淘汰赛制不行，单循环赛制也不好，那怎么办呢？

师：两种赛制都不合适，那能不能两者——

生（齐）：结合。

师：两种赛制结合有什么好处？

生4：这样不需要那么多场比赛，又利于班级真实足球水平的展示。

师：也就是使比赛更加地公平、公正，那我们就选用这种赛制——单循环赛+淘汰赛。

课件出示（如图8）：

师（出示图9）：一起来看看这位同学的解答过程，请他自己来介绍一下。

生5：有两个组，每组有4个队，在每个小组里采用单循环赛就是3+2+1=6（场），有两个组，6×2=12（场）；每组前两名的参赛队进入淘汰赛，也就是4个队进行淘汰赛，要比3场，所以一共是12+3=15（场）。

师：看来同学们都能学以致用了！真棒！

【思考：为本校三年级班级足球赛活动设计赛制，是一项开放性、综合性强的真实任务，旨在促进学生经验的迁移与模型构建的能力。正是这样的经验迁移和拓展创新过程，推动了数学与生活、与体育学科更深度地融合，有利于将学生培养成为善于解决真实问题的人。】

四、拓展延伸，感悟模型

师：今天这节课我们用化繁为简的策略一起解决了比赛场数的问题。其实这一策略早就在大家以前的学习中出现过了。比如四年级学习的“有趣的算式”和五年级学习的“图形中的规律”都应用了化繁为简的方法。生活中还有很多类似比赛场数的问题，比如握手问题、购票问题等，希望同学们在以后的学习中灵活运用化繁为简的方法解决更多复杂的问题。

【思考：回顾小结学习成果时，教师适时地介绍生活中类似比赛场数的问题，再次把学生带到新的学习情境中，帮助学生在面对各种情形的实际情境时想到相应的数学模型。】

【课后思考】

综合与实践是《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出的四个学习领域之一，是核心素养导向课程理念的直接体现，是落实实践创新能力培养的重要形式。综合与实践领域中，小学阶段以主题式活动为主，设计情境真实、较为复杂的问题，引导学生综合运用数学学科和跨学科的知识与方法解决问题，形成和发展核心素养。本节课中，笔者结合教材内容，将时事热点引入课程内容，立足综合与实践的特点与价值，引导学生总结规律，希冀为综合与实践领域相关主题教学提出一些可行性的教学策略。

思考一：提供支架，形成策略

图示化和直观化是学生在数学化学习过程中常用表现方式，也是数学化走向模型化的基础。为了优化比赛场数探究素材，笔者首先结合亚运会体育赛事，从“64名选手进行乒乓球单循环赛共要比赛多少场”开始，让学生理解单循环赛规则，并为后续的“用数学的眼光看亚运会”做铺垫。接着，引导学生逐步踏上从直观到抽象的探究之旅，让他们从简单情形开始寻找规律。在分析和解决4名选手比赛场次问题时，通过多元表征和直观图分析，学生从实际情境中抽象出模型，建立实际情境与数学问题之间的关系，进而深化对算法的理解，并认识到算法的现实意义和价值，使数学思维可视化。

思考二：指向本质，建立模型

在综合与实践活动中，要培养学生从日常生活中“看出”数学现象，从数学的角度发现和提出问题，运用数学的知识和方法分析和解决简单实际问题。在本文所述的教学案例中，学生从某个具体情境的“比赛场次安排”问题出发，通过探究各类赛制下比赛人数与场数的关系，概括出一般模型。在这个模型化的过程中，学生参与具体的操作活动并解决问题，借助具体任务进一步感受和理解数学的本质。课堂上有三个任务，分别对应求“单循环赛”“淘汰赛”和“单循环赛+淘汰赛”这三种赛制下比赛场数。整个活动设计直接指向数学本质，从而有效构建数学模型的建立与应用。

思考三：学科融合，提升素养

《义务教育数学课程标准（2022年版）》提出：“在主题活动中，学生将面对现实的背景，从数学的角度发现并提出问题，综合运用数学和其他学科的知识与方法，分析并解决问题。”教师在教学中应在秉持学科立场，实现跨学科融合，坚守并挖掘学科的育人价值。数学与其他学科的融合能使学生在多学科的综合性探究过程中，以某一学科的所见和所能弥补另一学科的所不见和所不能，不断积淀数学素养，实现数学能力与跨学科综合素养的“双增长”。

本课在探究比赛场次的综合与实践活动中，通过三个任务链的逐步实施，层层推进，使得学生的思维从粗糙的猜想变成严谨的算法，学生充分经历了完整的数学化思维过程。倘若把课堂视为“教—学—做”合一的闭环过程，把“教出来”的“学出来”，再把“学出来”的“做出来”，就能打通素养与能力生成的“最后一公里”。

（责编 金 铃）