在深层次理解分数中实现数学素养的提升

［摘 要］五年级“分数的意义”教学是在三年级“分数的初步认识”的基础上，进一步指导学生深化对分数概念的理解。教学过程中，教师应评估学生的已有知识和能力水平，明确分数意义学习的关键点与拓展点，从深化分数特性、探索“整体”概念、认识分数概念、探索分数的相对性等方面进行教学，促进学生对分数本质概念形成深刻理解。

［关键词］分数认知；数形结合；理性思辨；分数意义；逻辑推理

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）17-0054-03

在我国的教育体系中，分数的教学通常遵循两个主要阶段的递进模式。在小学三年级，通过具体直观的模型来引导学生进行操作性学习，使他们亲身体验分数的产生过程，并从整体与部分的关系中构建对分数的初步认知。在小学五年级，将学生的直观感受转化为更为抽象的理性理解，通过归纳和总结，让学生掌握分数的本质。同时，探讨分数与除法之间的内在联系，可进一步深化学生对分数概念的理解。

以苏教版教材五年级下册“分数的意义”一课为例，本教学活动旨在通过一系列具体实例，引导学生归纳出分数所代表的整体与部分关系，并进一步理解分数作为量的表现形式。为了深入探究学生从三年级到五年级在分数概念理解上的变化，笔者对本市186名五年级学生进行了系统的前测问卷调研，前测题目和回答情况如图1所示。

图1 “分数的意义”一课的前测题目和回答情况

其中，在解答题目1的③号图形时，超过四成的学生选择用[26 ]来描述，他们忽略了③号图形中椭圆的“收纳”作用，未能将两个小方格看成一份。这一现象反映出学生对分数概念的理解仍需深入。

在符号与图形的转换上，超过九成的学生能够游刃有余地通过画图来表示[34]，但仍有超过六成的学生在画图表示[34]时，局限于将单个物体看成一个整体。访谈中发现，部分学生的想法较为简单，他们认为只有在单个物体不完整时，才需要用分数来表示，而在多个物体构成的情形里，他们往往觉得分数是多余的。而部分学生则坚持认为整体中的物体或图形必须是完整无缺、同类聚合、数量明确的。

值得注意的是，当一个整体由多个部分组成时，学生使用的物体个数普遍为分母的倍数。这种选择既体现了他们对数量平均分配的追求，同时也在一定程度上反映出他们受到教材展示的学习资源的影响。

教学面临的挑战犹如打开一扇门，找到钥匙是关键，即在分数意义的教学中，教师需要帮助学生深入理解“一份”的真正含义。首先，教师需要引导学生跳出“单一”数量思维局限，让学生看到在不同情境下，“一份”可以是多样且灵活的。然后，教师需要调整教材的编排和呈现方式，打破学生对“整体”的固有认知。最后，除了通过“平均分成几份，取若干份”的方式来定义分数，教师还应当引导学生探索分数的其他维度。比如，分数可以看作比例、比率的一种形式，甚至可以是一种表达部分关系的方式。这样，分数就不再仅仅是一个数学概念，还成了一种能够描述世界多样性的工具。

一、唤起先验知识，深化分数特性

在教学分数这一抽象概念时，图像是重要的辅助工具。课程伊始，笔者采用两组图形（如图2）作为教学起点，让学生理解不同图形中[34]的具体含义。此过程旨在激发学生的认知冲突，促使他们深入思考问题：“为何图形不同却都可以表示相同的分数？”让学生辨识分数与之前学习的整数在概念上的差异，并进一步深刻理解[34]所表达的部分与整体之间的关系及其本质特征。

二、理性辩证：探索“整体”概念的深层数学意蕴

在教学分数概念的过程中，对“一个整体”的认识至关重要，这是学生构建分数意义的基础。本课程旨在通过三个阶段系统地引导学生理解“一个整体”的概念：首先，明确“整体”的定义和特征；其次，探讨如何从整体中分割出部分；最后，分析部分与整体之间的比例关系。通过这三个阶段，学生将能够全面而深刻地理解分数所代表的意义。

（一）深化理解，洞察“整体”奥秘

在教学活动中，教师需要帮助学生理解将多个图形视为一个统一整体的概念，特别是要让学生认识到构成整体的个体数量不必局限于分母的整数倍。随后，教师可通过引入数字“1”来代表一个整体，并在相应的图形旁边做出标记，让学生体会到分数与自然数在表达数量上的差异，从而促进其思维模式的转变。

（二）外延拓展与内涵深化双管齐下

鉴于部分学生在前测中表现出的对“整体”概念的误解，即将整体限定为完整、同质且数量明确的集合，以及学生在实际数学学习中对多样化“整体”的理解需求，笔者通过三个典型案例来拓宽学生对“整体”概念的认识边界，并深化学生对“整体”本质属性的理解。

【案例1】3名学生和1名老师整体的[34]。在处理由“3名学生和1名老师”组成的整体时，教师应引导学生认识这一整体包含4个个体。学生在此基础上，会发现3名学生占整体的[34]，因为他们占据了总数的[34]，以及每个个体都可以被视为整体的[14]，这表明整体的任何部分都可以根据其所占比例被识别和计算。

【案例2】[12]块蛋黄派的[34]。对于“[12]块蛋黄派”，学生首先认识到这代表了整个蛋黄派的一半。进一步地，学生学会了将这半块蛋黄派再划分为四个相等的部分，从中取出三个部分表示[34]。这一过程展示了即使是一个已经被分割过的整体，也仍然可以被进一步地划分并用于表示分数。

【案例3】一定长度线段的[34]。在处理长度问题时，如“6米”的线段，学生理解了这可以看作一个整体，并可以将其等分为四份，每份长1.5米，取其中的三份来表示[34]。类似地，当线段长度变为“7米”时，学生可以将7米等分为四份，并取其中的三份来表示[34]。这说明了无论是确定的长度还是变化的数值，都可以成为“整体”，只要它能够被等分。

在实际教学中，采用多样化的学习材料至关重要，这些材料可以是图表、语言描述、具体数值以及变量等，这样有助于学生突破先前的认知限制，重新认识到“一个整体”概念的广泛应用性和深刻内涵。从图形到文字，从数值到符号，从单一对象到复杂集合，再从具体实例到抽象理论的逐步过渡，学生经历了一个概念的构建和扩展过程。

三、分数概念的全面解读：由具体到抽象的认识过程

在数学教学中，数学概念的掌握往往遵循从具象到抽象，再由抽象回归具象的认知规律。分数作为一个基本的数学概念，其意义的理解亦遵循这一规律。教学中，尽管已通过图形对[34]的特性进行了充分阐释，但在“一个整体”概念的扩展中，[34]的内涵也随之深化。本课程着重于深化学生对[34]意义的认识，帮助学生构建起对[34]的多维直观感受。

【教学片段1】

师：同学们，[34]仅仅是一个数字，为何能在如此多的情境中找到对应的整体来表达它呢？

生1：因为它代表着将一个整体平均分成四个部分，并选取其中的三个部分。

师：既然不同的“一个整体”都有它的[34]，那么一个整体中还有其他分数吗？

生2：将一个整体平均分为七个部分，选取其中的五个部分，便得到了[57]。

生3：将某个整体平均分为二十份，选取其中的十三份，便是[1320]。

……

师：你们能否用自己的话来说明什么是分数？

生（齐）：分数是将一个整体平均分成若干份后，其中一份或数份的表达方式。

四、分数概念的相对性探究：体验与逻辑的双重路径

分数的相对性表现为三个方面：一是当整体不同时，即便分数形式一致，其实际代表的数量也有所差异；二是处于同一整体中，不同分数所对应的具体数量亦有差别；三是在不同的整体之中，不同的分数可能代表相同的数量。这与整数的性质有明显区别。为了让学生深入理解分数的相对性，笔者策划了一系列教学活动，引导学生通过实践操作、直观感知和逻辑推理，逐步认识和掌握分数的这种相对性，从而能够精确地进行数学表述，并在此基础上发展推理能力。

【教学片段2】活动一：实践探究

师：各参与者档案袋中的邮票总数不同，如果每位参与者都从各自的档案袋中取出邮票的[12]，那他们取出的邮票数量是否一致？

生1：相等。

生2：不等。

师：有“参与者从档案袋中取出邮票的数量相等”“参与者从档案袋中取出邮票的数量不等”两种假设。请大家合作探究，验证猜想。

……

在本活动中，邮票集合是整体，而从集合中取出的邮票数量则代表了该整体的一部分。当整体的规模发生变化时，与之相对应的部分的量也会相应地调整。

【教学片段3】活动二：理性选择

师（出示图3）：如果一个整体的[25]被揭示出来，那么这个整体的具体形状是什么样的？从5个图形中选一选。

生1：我选图形①，将一个长方形平均分成五份，其中两份即代表了[25]。

学生2：我选图形③，它由5个同样的长方形构成，其中2个长方形即代表了[25]。

……

教师应注重训练学生从已知的部分量推断整体量的思维能力，要求学生深入理解分数[25]的含义，并分析部分与整体之间的关系，以确定整体量。

【教学片段4】活动三：据理力争

师：在一次捐款活动中，文思捐赠了其零花钱的[15]，而文采捐赠了其零花钱的[35]。可由此推断文采捐赠的金额多于文思吗？

上述问题旨在引导学生从抽象层面理解分数，并探究部分与整体之间的关系。通过不断的探究和辩论，学生不仅拓展了思考问题的视角，还深刻领悟到在比较部分量时，必须明确它们所对应的整体量。

分数的认知教学贯穿小学所有学段，教学过程中，教师应对学生的先验知识和能力水平进行评估，并确定分数意义学习的关键点与拓展点，从而促进学生对分数本质概念的深刻把握。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 黄露岚.依托核心问题 构建有效对话：以“分数的意义”教学为例[J].数学教学通讯，2024（1）：30-33.

[2] 王平平.图像表征应用于小学数学概念教学的案例研究：以“分数的认识”为例[D].昆明：云南师范大学，2023.

（责编 杨偲培）