三个版本教材中认识整万数内容的比较

［摘 要］认识整万数不仅是“认识万以内数”学习的延伸，而且是学生掌握整亿数和小数概念的重要基石。比较苏教版、人教版和北师大版教材中有关整万数的内容后发现，这三个版本教材均以学生已有知识为依托，关注数的本质认识，并安排了相关的认数活动。尽管如此，三个版本教材在数的一致性、量感与数感的关联，以及练习题组的构造等方面存在明显差异。教师需要强化数结构的教学，通过量感培养深化学生的认知。

［关键词］整万数；数的认识；教材

［中图分类号］ G623.5 ［文献标识码］ A ［文章编号］ 1007-9068（2024）17-0020-04

数感主要涉及对数与数量、数量关系以及运算结果的直观理解。它是小学“数与运算”领域学习的核心内容，也是培养数学抽象思维的基础。学习认识整万数的内容能为学生进一步掌握含有万级和个级的数、认识整亿数，以及学习多位数的改写与估算打下坚实基础。本文以人教版、苏教版和北师大版教材为研究对象，对认识整万数的相关内容进行比较分析，旨在探讨教材编排的异同，并据此提出具体的教学建议。

一、三个版本教材中有关“认识整万数”内容的编排

由表1可知，关于“认识整万数”内容的编排，三个版本的教材有一定的年级差异。人教版和北师大版教材均将其安排在四年级上册，而苏教版教材则在四年级下册安排该内容。尽管编排的时间上有所不同，但三个版本教材都一致将“认识整万数”定为各自单元的起始课程。这一安排突显了该课程在整个单元教学框架中的重要性。

二、三个版本教材中“认识整万数”内容编排的相同点

（一）依托已有经验，产生认数需求

已有的生活经验和认知经验可以让学生在学习新内容时，通过自主探究、小组交流等方式理解概念、掌握方法，从而在头脑中建构新的认知结构。因此，人教版、苏教版和北师大版教材都强调激活学生已有的经验。比如，苏教版和人教版教材利用学生对生活中大数的直观感受，分别通过2011年全国芝麻、茶叶和油菜籽总产量与2020年第七次全国人口普查部分地区的数据这些现实情境介绍大数，激发学生认识大数的兴趣；北师大版教材则依托学生的计数经验，通过逐个叠加小正方体的方式，从计数单位着手，在“数一数”活动中帮助学生理解“十万”的概念，进而激发他们学习更大的数的愿望。

（二）组织认数活动，发现读写规律

《义务教育数学课程标准（2022年版）》（以下简称《课程标准》）指出，课程内容组织要重视学生直接经验的形成；学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。三个版本教材均遵循《课程标准》理念，安排了“数一数”“读一读”“写一写”的认数活动，旨在让学生经历认数的基本过程，理解整万数的意义。三个版本教材在开展认数活动时都呈现出以下共同特点：

首先，充分利用计数器模型，让学生通过实际操作感知位值计数法的意义。低年级时，学生通过操作各种实物模型（如小方块、小棒、小花片等）来理解数字的含义。在认识较大的数时，学生借助计数器，通过拨珠子的数数活动体会“10个一万是十万”，认识新的计数单位“十万”，并理解不同位置上的珠子代表的数值不同，深刻感受十进制计数法的原理。

其次，在学生通过数数活动认识新的数位和计数单位、领会“满十进一”的规律后，三个版本教材均提炼出了数位顺序表。通过问题“你有什么发现？”，引导学生探索并发现数位与计数单位之间的关系、四位一级的规律，说明每个数位上的数字代表的意义，使学生构建起小学阶段整数认识的框架。

最后，为了掌握读写规律，在学生理解数位顺序表之后，苏教版和人教版教材都设置了对比读数的练习，如展示“85和850000”、“340和3400000”等数字，让学生通过对比读写数的方式，发现万以内的数与整万数读法的相似性与差异性，建立起数的分级认识，并进一步理解整万数读写的规律。

（三）聚焦认数本质，发展学生数感

北京师范大学教育学部的郭华教授认为，数学知识的学习是一个从具象到抽象的过程。认数活动的核心是将具体数量抽象化，其中实物如计数器和算盘等发挥了重要作用，能帮助学生理解数的大小和意义，培养数感。在此基础上，人教版、苏教版和北师大版教材均集中体现了认数的这一本质，即通过“十进位值制”来理解数的大小和意义。“十进位值制”包含两个核心概念：一是“十进制”，指的是每逢十进位的计数法；二是“位值制”，意味着同一个数字在不同的位置（数位）上代表的数值是不同的。在使用计数器进行数数的活动中，三个版本教材都强调了“满十进一”的规则，如“10个一万是十万，10个十万是一百万，10个一百万是一千万”，以此来贯通“满十进一”的计数法。

另外，苏教版和人教版教材在读数对比练习中，均通过问题“34和340000表示的意义相同吗？”来引导学生思考，有助于他们理解位值制，从而进一步把握不同位置上数字的大小和意义，逐步发展数感。

三、三个版本教材中“认识整万数”内容编排的不同点

（一）认数一致性的关注度不同

《课程标准》指出，数是对数量的抽象，数的运算重点在于理解算理、掌握算法，数与运算之间有密切的关联；初步体会数是对数量的抽象，感悟数的概念本质上的一致性，形成数感和符号意识。认数的一致性表现为学生能够把万以内数的认识过程应用到整万数的认识上，理解万以内的数代表了多少个一，整万数代表了多少个万，从而感受到数概念的一致性。苏教版和人教版教材通过引入生活中的大数并在计数器上拨珠数数来介绍新的计数单位，并渗透了“满十进一”的计数规则。然而，这两个版本的教材没有明确强调每颗珠子在不同数位上的具体意义，也未将其与万以内数的意义紧密关联，这在认数一致性的处理上显得有所欠缺。相比之下，北师大版教材从学生数小方块的认知经验出发，在用计数器拨珠数数的过程中，通过出示“一个一个地数”“一千一千地数”“一万一万地数”等操作，强调计数单位的累加，并将其与万以内的数进行了有效关联，说明大数是由相同计数单位累加而成。此外，北师大版教材通过用计数器出示“99996”，再一个一个地数，数到10万，激活了学生对十进制计数法的认识，突出了认数方法的一致性。因此，北师大版教材在处理认数一致性方面做得更为细致和周到。

（二）数感与量感的联通性不同

《课程标准》将数感和量感作为核心素养两个独立的具体表现，并指出数感主要是指对于数与数量、数量关系及运算结果的直观感悟，它是形成抽象能力的经验基础；量感主要是指对事物的可测量属性及大小关系的直观感知，它是形成抽象能力和应用意识的经验基础。从二者关系上看，数感为量感提供理性支持，增加量感的科学性与严谨性；量感为数感提供可靠的抽象来源，为深入理解数及其关系提供良好的支撑点。因此，在“认识整万数”教学中，教师可以培养学生的量感，从而帮助他们更深刻地理解数的意义，进而发展数感。人教版教材在这一部分没有显著地体现数感与量感的结合；苏教版教材通过问题“100张这样的纸大约厚1厘米，照这样推算，10000张这样的纸大约厚1米。1000000张这样的纸大约厚多少米？”，引导学生根据100张和10000张纸的厚度，以及1000000张纸与10000张纸的倍数关系进行推算，有效地联结数感和量感。北师大版教材则更注重数感与量感的交织，给出了类似“在400米的跑道上绕25圈是一万米”“2500个班级大约有十万名学生”的例子，通过估算、计算和思考等活动帮助学生感知具体的数量，使学生在对有形的量的感知中进一步培养数感。此外，教材设置了“说一说生活中的大数”（如“人大约有十二万根头发”等）环节，目的是通过具体实例激发学生的量感，接着通过分析去除情境和不带单位的大数，将具体的概念抽象化，从而发展学生的数感。

（三）题组练习设计结构性不同

好的题组练习能够有效地帮助学生深入理解教学重点、克服学习难点，并构建完善的认知结构。三个版本教材的题组练习在设计上存在显著差异。苏教版教材的题组练习分为三大类：

第一类是利用算盘拨珠数数，强化整万数的意义。如从一百九十五万开始，一万一万地数，一直数到二百零六万，利用的是算盘，让学生感知与用计数器数数的异同，在“满十进一”中理解数的意义。

第二类是对比读数，聚焦认数的本质。通过“85和850000”“805和8050000”“850和8500000”这样的题组，让学生在对比读数中掌握整万数的读法，发现相同数字在不同数位表示的意义不同。

第三类是看图写数，掌握整万数的写法和组成。教学分两个层次：第一层次是依据算盘看珠写数，明确一一对应的写数方法；第二层次是直接写数，如“六千五百万年前”，明确写整万数的基本方法，即从高位写起，先写万级，再写个级。这些练习对学生掌握整万数的写法提供了有力的支持。

除编排了与苏教版教材第一类、第二类相似的题组练习，人教版教材还增加了对数位顺序表数位和计数单位的巩固。北师大版教材编排了数轴填数和估计一百万粒大米、一千万粒大米大约有多少千克的练习，比较注重运用推算、估计的方法来发展学生数感。然而，这种方法在巩固整万数的意义和读写方法方面显示出一定的不足，可能会影响学生对新知识的内化和理解。

四、三个版本教材比较中关于“认识整万数”的教学建议

（一）强化认数结构，感悟认数一致性

整数的认识贯穿小学阶段第一学段和第二学段，重点在于理解数的意义和数的表示，它的本质特征是从数量到数的抽象。因此，教学整万数的认识时，可以从生活中的整万数出发，激活学生的生活经验，先让学生对整万数有一个感性的认识；由量抽象成数之后，再借助计数器帮助学生理性感知数的大小，建构数的结构。结合三个版本教材比较，可以看到认数的一致性体现在以下两个方面：

1.认数的本质是数里包含多少个这样的计数单位

“计数单位”是整数表达的核心概念，虽然具体的数量不同、表达的方式不同，但都可以表示这个数里包含多少个这样的计数单位。例如，万以内的数表示包含多少个“一”，整万数表示包含多少个“万”。因此，整万数的教学可以先从万以内的数入手，引导学生通过拨珠和思考问题“这3颗珠在百位上，表示多少？如果在千位上呢？在万位上呢？”，感受相同数字在不同数位上表示的不同意义。在学生认识数级后，通过追问“85表示什么？850000呢？”加强学生对认数本质的理解，以及对整万数结构的认识。

2.十进制计数法贯穿认数的始终

学生需要深刻理解十进制计数法，这不仅仅是指理解“满十进一”的原则，还包括通过一系列活动建立位值感。例如，通过在计数器上拨动珠子，一万一万地数，并在满十时将十颗珠子拨走，向前一个数位进一，让学生深刻理解“十万”这一新计数单位是怎样基于“一万”累加而成的。又如，在学生根据“满十进一”的规则认识“十万”“百万”“千万”等计数单位后，教师进一步提问：“同一颗珠子为什么在不同的数位上可以代表不同的大小呢？”通过这样的引导，学生可以深化对位值的理解，并逐渐建立“位值感”。

（二）依托量感感知，深化数概念理解

要认识整万数，深刻理解“十万”这一计数单位是关键环节之一。这不仅有助于学生灵活掌握“百万”和“千万”等更大的计数单位，而且对学生建立“十万”这一数量级别的抽象概念至关重要。然而，学生往往对“十万”这一概念缺乏具体的认识，较难形成对“十万”的深刻理解。北师大版教材在培养学生对“十万”数感方面提供了有益的指导。例如，利用生动的现实生活案例“在400米的跑道上绕25圈是一万米”“2500个班级大约有十万名学生”中的具体的事物数量来推算“十万是多少”，有助于学生对“十万”的数量进行抽象概括。进一步地，通过展示一包A4纸（500张），并演示20包A4纸堆叠起来的画面，指导学生计算出这堆A4纸一共有一万张，进而引导他们推算出十万张A4纸需要200包A4纸。这种直观的展示能使学生感受到“十万”的具体大小。

教师可以有效地引导学生通过感受生活中丰富的事物数量，激发他们的量感，使其逐步形成“十万”的数感，为后续认识更大的数搭建脚手架。

（三）注重练习结构，形成整体建构

教师在教学过程中不仅需要注重知识本身的结构，同样重要的是在相应的练习中也要体现出结构性，以便引导学生更加深入地认识数学。苏教版教材通过编排三种类型的题组练习——分别聚焦学生的操作类经验、认知经验和总结类经验，帮助学生巩固知识模块，让学生形成数感。北师大版教材的练习题中设计了数轴写数（数轴是从具体走向抽象的一个认数工具，对发展学生数感有着重要意义）。上海市数学特级教师曹培英教授指出，数感还可以估出来。因此，笔者在数轴写数的基础上进一步延伸，设计数轴估数练习（如图1）。第一层次，大范围地估，让学生体会要准确表示数的大小，需要通过平均分来确定单位长度的大小；第二层次，变换两次数轴下方的数，让学生感受数轴下面的数变了，单位长度就变了，并在变与不变中感悟数的大小；第三层次，变换点的位置，让学生根据已知单位长度估出新的数并理解整万数的意义，通过数轴上数的层层变化培养学生估数的能力，抽象数的组成，由直观走向抽象，发展学生数感。

通过这样的练习设计，将“数”“读”“推”“估”这四个学习活动紧密联系起来，构建了一个完整且连贯的练习结构。这种结构化的练习安排不仅能够促进学生将新学的知识与之前所学的知识有效连接，而且能够让学生经历从具体到抽象的数感形成过程，进而建构起一个完整的知识体系。

［ 参 考 文 献 ］

[1] 中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准（2022年版）[S].北京：北京师范大学出版社，2022.

[2] 吴立宝，高博豪，郭衎.对数感与量感的辨析[J].教育研究与评论，2022（8）：51-56.

[3] 郭骥，根呷益西.如何实现“十进位值制”的深度理解：以“古人计数”一课的教学研究为例[J].小学数学教师，2023（5）：68-72.

[4] 翁士应.操作中积累经验度量里发展数感：《大数的认识》单元备课思考与教学实践[J].小学教学设计，2022（35）：53-56.

（责编 吴美玲）