利用GeoGebra软件辅助理解关联速度模型

摘 要：在高中物理教学中，“关联速度模型”是教学难点和易错点，其复杂抽象的关联运动情境更适合用动态化教学软件展示，从而更好地帮助学生理解运动的合成与分解规律。本文借助GeoGebra软件构建动态关联速度模型，可以定量化、动态化、可视化地展示关联速度模型中的物体运动和速度的合成与分解关系，帮助学生深刻理解运动的合成与分解原理，有效地突破教学难点。

关键词：中学物理；运动的合成与分解；可视化教学

针对“运动的合成与分解”一节，《普通高中物理课程标准（2017年版2020年修订）》要求：“体会将复杂运动分解为简单运动的物理思想。”“关联速度模型”作为运动的合成与分解的典型应用，是高中物理教学中的难点，也是高考的热点问题。［1］关联速度模型就是将两个物体通过不可变形的轻绳、轻杆或直接接触发生联系，求两物体速度之间的关系。两物体的速度通常不同，但存在某种联系，这就是关联速度。［2］关联速度分析的关键在于分清物体之间的速度关系，找出合运动和分运动。合运动是由各分运动共同产生的总运动效果，合运动与各分运动的总运动效果可以相互替代。［3］传统教学中常用的板书很难直观地展示关联速度模型中的动态速度关系，更难使学生构建出真实的物体运动图像。若能把物体运动时的速度情况动态化地演示出来，则能够很好地帮助学生理解这一物理规律。GeoGebra软件是一款数形结合软件，能够对物理过程、物理模型进行模拟，将抽象的物理运动情境定量化、可视化、动态化。［4］本文借助GeoGebra软件构建动态关联速度模型，展示物体在运动过程中的“关联速度”问题和速度变化关系，定量、直观地显示合速度与分速度之间的关系，帮助学生理解该类问题，建立正确的运动观，有效解决教学难点。

1 关联速度模型总述

常见的关联速度模型有绳模型和杆模型，如图1所示。图1（a）是绳模型，A端绳子通过定滑轮拉动B端小船，使小船靠岸；（b）是绳模型，A端车通过定滑轮拉动B端车；（c）是绳模型，A端重物通过定滑轮拉动套在竖直细杆上B端的圆环；（d）是杆模型，轻杆两端分别沿竖直墙面与水平地面滑动。在这类问题中，绳和杆不可变形，摩擦力不计，绳和杆的质量不计。常常已知A端物体的速度vA，求解B端物体的速度vB，α是vA的方向与绳或杆的夹角，θ是vB的方向与绳或杆的夹角（均选取锐角）。

以图1（a）绳模型的常规教学为例，在岸上以速度vA匀速拉绳子，使小船沿水平面向岸边靠拢，求B端绳子与水平方向成θ角时，船的速度vB的大小。由于绳子不可伸缩，因此沿绳子方向的速度大小处处相等，即为关联速度v关。绳子A端的运动是合运动，实际效果是A端沿着绳子运动，其方向即是合速度方向，则v关＝v绳＝vA。

B端小船的运动是合运动，实际效果有两个，一个是B端沿绳子的运动，另一个是B端绕定滑轮的转动。因此，将B端小船速度vB分解为沿绳方向的速度v绳（与vB的夹角为θ）和垂直于绳方向、绕定滑轮转动的速度v转，如图2（a）所示。根据三角函数关系，v关＝v绳＝vBcosθ，因此vB＝v绳cosθ＝vAcosθ。

学生在解这类问题时的易错点如下：①错误地判断合运动和分运动。认为绳子的运动是合运动，B端小船的运动是绳子运动的一个分运动，将v绳按如图2（b）所示分解，错误地得到vB＝v绳cosθ＝vAcosθ。②不能根据合运动的实际效果分解合速度。［5］有的学生虽然能判断出B端小船的运动为合运动，但在进行速度的分解时，将其分解为沿绳的方向和垂直于船运动的方向的两个速度，如图2（c）所示。③受生活经验的影响。学生容易认为施力物体的运动速度vA应该大于受力物体vB，［6］即vAgt;vB。

为了避免学生分析问题时思路不清晰而导致解题错误，根据关联速度模型的特点，可将关联速度模型解题分为以下几个步骤：①确定绳子末端A、B点的合速度（实际速度）的方向，物体实际的运动方向就是合运动的方向，即合速度的方向，即A、B点的合速度分别为vA、vB。②根据合运动的两个实际效果分解合速度，一个沿绳方向即v关，另一个垂直于绳方向。③利用平行四边形定则作出A、B两端各自速度的矢量图并得到合速度与分速度的关系，v关＝vAcosα、v关＝vBcosθ。④根据关联速度大小相等，最后确定两个物体的速度大小关系，vB＝v关cosθ＝vAcosαcosθ。

按照上述步骤分析图1（b）模型。①绳子末端A、B的合速度均沿水平方向。②将A、B端的合速度分解为沿绳方向和垂直于绳方向的分速度。③A端有v关＝v绳＝vAcosα，B端有v关＝v绳＝vBcosθ。

④vB＝v关cosθ＝vAcosαcosθ。同理，图1中（c）（d）模型也能根据上述步骤正确求解。

利用上述解题步骤虽然能够简单、快速地求解关联运动的速度，但有些学生空间思维能力较弱，难以理解动态的运动情景，容易机械记忆这种类型题目的解法。因此，为了让学生更深入理解速度的合成与分解原理，可以使用GeoGebra软件为学生展示动态关联速度模型，使其可以定量化地观察到关联速度模型中速度的变化情况。

2 利用GeoGebra软件构建关联速度模型

以图1模型中两端A、B点分别作为研究点，根据v关在GeoGebra软件中构建图1的关联速度动态模型。

首先，创建A点速度vA，vA与绳或杆的初始夹角ω1，B点速度vB，vB与绳或杆的初始夹角ω2，时间t，角度随时间变化量δ1、δ2的滑动条。

其次，绘制A点的运动及其速度向量：A点位置为（vAt，3），选择“旋转”工具构建vA与绳或杆的夹角α＝ω1-δ1，选择“圆和向量”工具构建A点速度向量vA、分速度向量v关＝vAcosα、v＝vAsinα。

最后，绘制B点的运动及其速度向量：选择“旋转”工具构建vB与绳或杆的夹角θ＝ω2＋δ2，根据vB＝v关cosθ＝vAcosαcosθ，B点位置为（vBt，3），选择“圆和向量”工具构建B点速度向量vB、分速度向量v关＝vBcosθ、v＝vBsinθ。

A点是主动端，B点由于A端的牵连而运动。从合运动和分运动的概念来看，关联物体发生运动的过程中，与连接物相连接的两端物体的运动都是合运动，而连接物的运动是分运动，故此时A、B点的运动即为合运动，速度即为物体的速度vA、vB。绳或杆上任意点沿绳或杆方向的速度大小相同，沿着绳或杆的速度就是关联速度v关。

3 关联速度模型动态教学展示

GeoGebra软件能够通过调节参数展示不同情况下物理量的动态变化过程。启动动画，可以清晰地看到运动过程中v关及A、B点的速度vA、vB的大小、方向变化情况。

调节ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑动条，令ω1＝0°、δ1＝0°，使vA的方向与绳平行，ω2、δ2为任意值，得到图1

（a）的动态模型，如图3所示。启动动画，可以看到

B点运动的过程中［如图3（b）（c）（d）所示］，A、B点沿绳的分速度即关联速度v关始终相等，且等于A点速度，即v关＝vA。随着θ增大，vB也在不断增大；同时还可以看到B点垂直于绳的分速度在不断增大。暂停动画，学生可以观察到任意时刻小船的速度、角度大小等物理量。例如，某时刻vA＝2m/s，θ＝45°时，如图3（c）所示，v关＝2m/s，vB＝2.83m/s。另外，还可以改变A端速度，让学生体会不同vA下小船的运动情况。

调节ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑动条，使这五个参数均大于零，得到图1（b）的动态模型，如图4所示。可以观察到在运动过程中［如图4（b）（c）（d）所示］，α不断减小，v关随α的减小而增大，θ、vB也在不断增大。

在图1（b）模型中，θ角的取值为0°lt;θlt;90°。当θ＝0°时，如图5所示，也可以应用GeoGebra建立模型。调节参数，展示物体运动时速度的动态变化情况。调节ω1、ω2、δ1、δ2、vA滑动条，令ω2＝0°、δ2＝0°，使vB的方向与绳平行，ω1、δ1为任意值，如图6所示。从动态图中可以看到，在运动的过程中，θ始终是0°，A、B端v关大小始终相等，vB的值即为v关的大小。随着α不断减小，v关、vB在不断增大。通过观察动态图，能够看到vB的速度就是沿绳方向的速度，即为v关，加深了学生对关联速度模型中合速度分解方法的理解。

利用GeoGebra软件展示物体运动速度的动态、可视化关联速度模型，学生能够直接观察到两个物体运动时A、B端速度矢量发生的变化，［7］建立起物理动态图像。结合教师的讲解，学生可以更加深度的思考，从而真正理解关联速度模型的解题方法。

4 结语

现代教育技术的应用为高中物理教学带来了很多便利，许多重要但不容易讲透的物理规律可以通过现代技术进行可视化展示，从而纠正学生之前错误的观念，帮助学生在头脑中构建出物体真实的运动图像。［8］通过定量化、动态化地展示关联物体运动过程中的v关、vA、vB等物理量的大小及方向变化情况，使学生能够理解物体实际的运动是合运动，沿绳或杆的运动是分运动，并且沿绳或杆的速度大小相等，从而正确判断合运动和分运动。利用动态图突破了学生的认知难点，［9］使学生能够懂得按照物体实际运动情况分解合速度，将合速度分解为沿绳或杆方向和垂直于绳或杆的方向上。另外，还能使学生体会到一些直观上较难想象的关系，如在运动的过程中，vB的速度可以大于vA，即受牵连物体的运动速度是可以大于主动施力物体的。

参考文献

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［7］明翔宇，陈俊.在“双新”背景下，例谈GeoGebra软件在高中物理教学中的应用［J］.物理教学，2022，44（4）：22-26.

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［9］殷正徐，吴伟.GeoGebra软件在高中物理课堂教学中的应用案例分析——以简谐振动和机械波为例［J］.物理教师，2017，38（10）：70-73.