关于自制密度计和浮力秤刻度的思考

摘 要：对2021年和2023年北京市初中学业水平考试中出现的自制密度计和浮力秤的试题进行分析，利用浮沉条件理论推导密度计刻度间距与液体密度之间的关系和浮力秤刻度间距与物体质量之间的关系，寻找刻度特点，进而突破考生做题过程中的难点。

关键词：学业水平考试；密度计；浮力秤

2021年和2023年北京市初中学业水平考试中出现的自制密度计和浮力秤的试题，在中考中属于难题，其综合性比较强，思维含量比较高。［1］如果考生在平时学习中没有学习过或见过密度计或浮力秤，在考试的过程中对这样的题就会感到陌生而不知道如何入手。而自制密度计和自制浮力秤的原理都是利用物体漂浮状态时浮力等于重力。［2］然而，为什么密度计的刻度是不均匀的，而浮力秤的刻度却是均匀的呢？本文从密度计和浮力秤的原理入手，利用物体的浮沉条件推导密度计的刻度间距与液体密度间的关系以及浮力秤的刻度间距与物体质量间的关系，进而给自制的简易密度计或浮力秤标上刻度并研究其刻度特点。本文主要研究以下问题：刻度是否均匀？刻度自下而上对应的密度值或质量值大小如何变化？如何增大两相邻刻度间的间距进而减小误差？

1 试题的呈现与分析例1 （2021年北京市初中学业水平考试第12题）测量工具为我们的工作和生活带来了极大的便利，而成功制作测量工具需要科技人员的创造性劳动。小慧通过自制密度计体验动手与动脑相结合的劳动过程。她在粗细均匀的木棒一端缠绕一些细铜丝制成简易密度计（未标刻度）。该密度计放在水和酒精中时均竖直漂浮，露出液面的长度用L表示（如图所示）。已知酒精的密度为0.8g/cm3，水的密度为1.0g/cm3。为了给简易密度计标刻度，小慧将该密度计放入酒精中，密度计静止时L为6cm，她在密度计上距顶端6cm处标记刻度线，该刻度线对应的密度值为 0.8g/cm3。小慧将该密度计放入水中，密度计静止时L为 8cm，她在密度计上距顶端8cm处标记刻度线，该刻度线对应的密度值为1.0g/cm3。利用上述数据，可计算出该密度计上对应密度值为1.25g/cm3的刻度线到密度计顶端的距离为（忽略铜丝的体积）（ ）。

A. 9.2cm B. 9.6cm C. 10cm D. 10.4cm

例2 （2023年北京市初中学业水平考试计算第26题）某科技小组的同学想制作一个简易浮力秤来测量物体质量。他们剪掉空塑料瓶的瓶底，旋紧瓶盖，在瓶盖上系一块质量适当的石块，然后将其倒置在水桶里，当瓶中不放被测物体静止时，在瓶上与水面相平位置标记为零刻度线，再在瓶身上均匀标记其他刻度线，左侧标记的是长度值，若在刻度线右侧标上相应的质量值，即可做成一个简易浮力秤，如图所示。已知零刻度线以上瓶身粗细均匀，其横截面积为50cm2，不放被测物体时浮力秤的总质量为170g，水的密度为1.0g/cm3，g取10N/kg。

（1）画出图中浮力秤的受力示意图。

（2）求图中所示状态浮力秤受到的浮力。

（3）求浮力秤上2cm刻度线对应的质量值。

试题分析：制作简易密度计和制作简易浮力秤都是考查学生运用二力平衡、浮沉条件、阿基米德原理等相关知识分析、解决实际问题的能力，引导学生体验物理学科的应用价值。在制作过程中渗透动手与动脑相结合的方法，在收集实验数据的基础上，学生运用所学知识推算液体密度或物体质量与测量仪露出液面距离的定量关系，进而可以给密度计或浮力秤标上刻度。综上，密度计的题是寻找液体密度所对应的刻度线，而浮力秤的题是寻找物体质量所对应的刻度线，两道题的核心都是给测量仪标刻度。

2 如何标刻度当自制的密度计或浮力秤能在液体中竖直漂浮时，如何标上刻度呢？最简单的方法是将自制密度计放到已知密度的液体中，利用物体浸入液体的深度来显示密度的大小，液体密度越小，密度计浸入液体的深度越深。

例如，我们已知酒精的密度为0.8g/cm3，水的密度为1.0g/cm3，可以将密度计放入水中，密度计竖直静止时，与液面相平的位置标上1.0g/cm3的刻度线；再将密度计放入酒精中，密度计竖直静止时，与液面相平的位置标上0.8g/cm3的刻度线。用相似的方法还可以标上其他液体密度的刻度线。同样，我们也可以将自制的浮力秤放入水中竖直漂浮后，标上零刻度线，然后不断地向浮力秤中加入已知质量的物体，在与液面相平的位置标上对应的质量刻度值。但在实际制作的过程中，我们并没有那么多已知密度的液体，也不知道刻度是否均匀，是否能将两刻度之间的间距平均取更小的分度值。因此，需要推导出测量仪浸入到液体中的深度与液体密度或物体质量之间的关系，进而标刻度。

2.1 给自制密度计标刻度

将如图1所示的自制密度计浸入到水和其他液体中时，设自制密度计浸入到水中的体积为V排水，浸入到其他液体中的体积为V排液，密度计的质量为m，密度计的横截面积为S。

2.2 给自制浮力秤标刻度

设如例2中图1所示的自制浮力秤（未标刻度）的质量为m0，浸入到水中的体积为V排0，向浮力秤中加入质量为m的物体时，浸入到水中的体积为V排，浸入到水中的深度变化为Δh，浮力秤的横截面积为S。

因此加入质量为m物体的浮力秤与不放物体的浮力秤浸入到水中的间距Δh满足Δh＝mρ水S。（18）

因此，我们可以将不放物体的浮力秤放入水中竖直漂浮时，在瓶上与水面相平位置标记为零刻度线，然后根据关系式（18）计算出质量为m的物体所对应的间距Δh，进而在塑料瓶上标上相应的质量刻度值。浮力秤的刻度自下而上质量值越来越大。

3 刻度是否均匀

3.1 密度计刻度不均匀，呈上疏下密的特点

将关系式⑧简化可得Δh＝mρ液S－mρ水S，从该关系式中可以看出，当ρ液增大时，Δh减小，且 Δh减小得越来越缓慢，因此密度计刻度自上而下密度越来越大，且刻度不均匀，呈现上疏下密的特点。通过关系式⑧可知，增加密度计的质量或减小密度计的横截面积能增大两刻度间的间距，进而减小测量的误差。

3.2 浮力秤刻度均匀

根据关系式（18）可知，Δh与m成正比，当m增大时，Δh均匀增加，因此浮力秤刻度自下而上质量值越来越大，且刻度均匀。同时可以通过减小浮力秤的横截面积来增大两刻度间的间距，进而减小测量误差。

4 总结自制密度计是测量液体密度的工具，自制浮力秤是测量物体质量的工具，虽然测量的物理量不同，但都是利用物体处于漂浮状态时浮力等于重力的原理去推导刻度间距与测量的物理量之间的关系。自制密度计是以水面处的刻度为基准。通过推导水面刻度和其他液面刻度之间的间距与液体密度的关系，可以发现间距与液体密度不成正比关系。因此，自制密度计的刻度是不均匀的。而自制浮力秤是以不放物体时的水面刻度为基准。通过推导加入物体的浮力秤与不放物体的浮力秤浸入到水中的间距与物体质量的关系，可以发现间距与物体质量成正比。因此，自制浮力秤的刻度是均匀的。

初中物理涉及密度计、浮力秤，还涉及温度计、弹簧测力计、杆秤等测量工具。我们可以利用物理原理去推导刻度间距与测量物理量之间的关系，进而给测量工具标上刻度。若推导出的关系式中间距与测量物理量成正比，则刻度是均匀的；若不成正比，则刻度是不均匀的。同时，我们还能从关系式中看出影响刻度间距的因素，进一步通过影响因素改进测量工具，提高测量工具的精确度。

想突破学生在考试过程中自制测量工具题型的难点，我们还需要将理论与实践相结合。在教学中我们可以带着学生自制测量工具，引导学生经历测量工具的设计与制作过程，理解其工作原理，在学习的过程中发展学生综合运用知识的能力、分析和解决问题的能力以及动手操作的实践能力。以自制简易密度计为例，在教学中，教师可以将自制简易密度计分解成多个任务：①如何利用提供的实验器材（用气凝胶封底的塑料吸管、小钢珠、装有水的量筒）自制一个能在水中竖直漂浮的简易密度计？②如何给密度计标刻度？③围绕密度计的刻度特点提出改进密度计精确度的建议，并用实验验证建议的可行性，从而使测量结果更准确。④展示作品，利用自制密度计测量一些常见液体的密度。

学生围绕任务，通过小组合作的方式，利用所学知识解决问题。教师在教学中，引导学生以解决问题为主线，以合作探究为基础，以产品设计制作为出发点，通过作品展示和交流体现学生掌握知识和技能的情况，使学生在参与项目和解决问题为基础的学习活动中，综合运用知识来解决问题，从而培养学生的批判性思维、协作意识、创造能力、创新精神和解决问题的能力，进而解决中考物理难题。

参考文献

［1］黄坤，胡森.一道中考“密度计”问题的新思考［J］.数理化学习（初中版），2021（12）：45-46．

［2］季卫新.几个有关“密度计”问题的探讨［J］.物理教师，2015，36（1）：41-43．

*基金项目：本文系北京市教育学会“十四五”教育科研课题2021年度一般课题“基于泛在学习环境下的初中学生物理实验能力培养的实践研究”（课题编号：CYYB2021-439）的成果。