解直角三角形在解决实际问题中的应用探究

黄天纪

［摘 要］在现实生活中，有很多和解直角三角形相关的实际问题。教师应引导学生应用解直角三角形的相关知识解决这些实际问题，以培养学生的数学建模、数学抽象素养。文章结合典型例题，探讨解直角三角形在解决实际问题中的应用，旨在帮助学生理解解直角三角形的常见概念及模型，找到解题突破口，培养学生解决实际问题的能力和数学核心素养。

［关键词］解直角三角形；实际问题；应用

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）14-0033-03

《义务教育数学课程标准（2022年版）》明确指出，通过经历独立的数学思维过程，学生能够分析、解决简单的数学问题和实际问题。由此可见，培养学生解决实际问题的能力，成为新时代数学课程改革的重要内容。在解决实际问题的过程中，学生常遇到这样的困境：不会结合数学知识把现实生活问题转化为数学问题，解题无从下手。本文结合典型例题，探讨解直角三角形在解决实际问题中的应用，以培养学生解决实际问题的能力和数学核心素养。

一、解直角三角形的常见概念及模型

（一）常见概念

1.仰角、俯角——观察者的视线与水平线所形成的夹角，即视线高于水平线所形成的角叫仰角，视线低于水平线所形成的角叫俯角。

2. 方向角——以观测点O为中心，过观测点作一条水平线和一条铅垂线，表示南北方向的铅垂线，与观测点到目的地之间的连线所形成的夹角叫方向角。

3. 坡角、坡度——水平面与坡面所形成的夹角叫坡角，而坡度就是坡面的铅直高度与坡面的水平宽度的比值。

4.直角三角形五个元素之间的关系：（1）三边关系（勾股定理）；（2）两角关系（两个锐角互余）；（3）边角关系（锐角三角函数）。在这五个元素当中，已知其中两个元素（必须有一个元素是边），就可以求出其余未知的三个元素。

（二）常见模型

模型1：背靠背模型（如图1、图2）。

图1                             图2

模型2：母子模型 （如图3、图4）。

图3                                    图4

模型3：拥抱模型（如图5、图6、图7）。

图5                       图6                          图7

二、应用解直角三角形解决实际问题的基本思路

（一）基本思路

应用解直角三角形解决实际问题的基本思路：首先将实际问题转化为数学问题（含解直角三角形），即舍去实际事物的具体内容，把事物及它们的联系转化为图形（含点、线、角等元素）；然后对数学问题进行解答，得出的数学问题的解即为实际问题的解。

（二）具体步骤

（1）理解题干中出现的数学概念和意义，如前面提及的仰角、坡角等，根据题干的问题描述，画出对应的平面图形，将实际问题转化为数学问题；（2）将数学问题与解直角三角形知识建立联系，并利用直角三角形的边角关系构造等式、解答问题（对于锐角或钝角的非直角三角形，可先采用辅助线法，将它们分割或补充，构造出直角三角形或矩形）；（3）找出与解题有关的直角三角形，并解这些三角形，最后得到答案。

三、解直角三角形在解决实际问题中的应用例析

在应用解直角三角形知识解决实际问题时，要将实际问题转化为数学问题，将实际问题中的数量关系转换为直角三角形的边角关系，结合图形、已知条件、所求问题展开联想，寻找条件与问题之间的逻辑关系或转化关系，利用解直角三角形知识解决问题。若所给图形不是直角三角形，应添加辅助线，构造出直角三角形。若有两个或两个以上的三角形，且不能直接求解，则可以考虑分别由两个三角形找出含有相同元素的关系式，运用方程知识求解。本文主要探讨应用解直角三角形解决有关仰角俯角、方位角、坡角坡度问题的方法。

（一）应用解直角三角形解决仰角俯角问题

解决仰角俯角问题，关键是弄清仰角和俯角的定义，根据题意画出含有仰角和俯角的几何图形，将实际问题中的数量关系转换为直角三角形的边角关系，也就是将已知数据在几何图形中标出，再利用解直角三角形知识求解。

［例题1］如图8所示，无人机从地面[CD]的中点[B]垂直起飞到达点[A]处，测得1号楼顶部[E]的俯角为60°，测得2号楼顶部[F]的俯角为37°，此时航拍无人机的高度为60米，已知1号楼的高[CE]为20米，求2号楼的高[DF]。（结果精确到1米；参考数据[sin37°≈0.60]，[cos37°≈0.80]，[tan37°≈0.75]，[3≈1.73]，[2≈1.41]）

【分析】过点[E]、[F]分别作[EM⊥AB]，[FN⊥AB]，垂足分别为[M]、[N]，通过添加辅助线构造两个直角三角形，将实际问题中的数量关系转换为直角三角形的边角关系。由题意可得，在[Rt△AEM]中，[AM=40]，[∠AEM=60°]，已知两个条件（一边一角），可以求出其他的边和角，用锐角三角函数求出[EM]，再运用矩形、中点性质求出[NF]，再转换到解[Rt△AFN]。由题意可得[∠AFN=37°]，在Rt[△AFN]中又找到两个已知条件（一边一角），可用锐角三角函数求出[AN]，最后用线段和差求出[DF=BN=AB-AN]。

【详解】如图9所示，过点[E]、[F]分别作[EM⊥AB]，[FN⊥AB]，垂足分别为[E]、[F]，由题意得[BM=CE=20]，[∠AEM=60°]，[∠AFN=37°]，[CB=DB=EM=FN]，[AB=60]，∴[AM=AB-MB=60-20=40]，

在[Rt△AEM]中，∵[tan∠AEM=AMEM]，∴[EM=AMtan60°=403≈401.73≈23.12]，∴[FN=EM=23.12]。

在[Rt△AFN]中，∵[tan∠AFN=ANFN]，∴[AN=tan37°]，[AN=tan37°×23.12≈0.75×23.12=17.34]，∴[DF=BN=AB-AN≈60-17.34≈43]。

答：2号楼的高[DF]约为43米。

【培养目标】引导学生应用解直角三角形知识解决仰角俯角问题，帮助学生理解仰角和俯角的概念，使学生能够熟练应用三角函数解直角三角形；通过指导学生添加辅助线构造直角三角形，让学生学会把实际问题转化为数学问题，培养学生的数学建模、数学运算、数学抽象等核心素养。

（二）应用解直角三角形解决方位角问题

解决有关方位角的问题，关键是弄清方位角的定义，画出有方位角的几何图形。如题图为非直角三角形，则需添加辅助线，构造直角三角形和矩形，将实际问题中的数量关系转换为直角三角形的边角关系，再利用解直角三角形知识求解。

［例题2］在东西走向笔直的限速公路上，规定汽车的最高行驶速度不能超过60 km/h（即[503 ]m/s），交通管理部门在离该公路正南方向100米[A]处设置了速度检测点，以东西向[BC]为[x]轴，以南北向为[y]轴建立如图10所示的平面直角坐标系，[A]位于[y]轴上，测速路段[BC]在[x]轴上，点[B]在点[A]的北偏西60°方向上，点[C]在点[A]的北偏东45°方向上。一辆汽车从点[B]匀速行驶到点[C]所用时间为15 s。请你通过计算，判断该汽车在这段限速公路上是否超速。（[3]取1.7）

[A（0，-100）][x/m][y/m][B][O][C]

图10

【分析】在直角三角形[ABO]和直角三角形[ACO]中，分别找出两个已知条件（一边一角），即[AO=100]和[∠OAB=60°]；[AO=100]和[∠OAC=45°]，可利用锐角三角函数求出[OB]和[OC]的长，从而求出[BC=OB+OC]，也就是求出限速路程，由此求出速度，即可解答。

【详解】∵在直角三角形[ABO]中，[AO=100]，[∠BAO=60°]，∴[OB=OA·tan60°=1003]，

∵[△AOC]是等腰直角三角形，

∴[OC=OA=100]，

∴[BC=OB+OC=1003+100≈270]，

∵[270÷15=18]，

[18>503]，

∴该汽车在这段限速公路上超速了。

【培养目标】引导学生应用解直角三角形知识解决方位角问题，帮助学生理解方位角的概念，使学生能够熟练应用三角函数解直角三角形。通过指导学生画出几何图形，培养学生把实际问题转化为数学问题的能力，提升学生的数学建模素养及分析与解决问题的能力。

（三）应用解直角三角形解决坡角坡度问题

解决坡角坡度问题，关键是弄清坡角、坡度、垂直距离、水平距离的定义，根据题意构造出有坡角和坡度的几何图形。若图形是非直角三角形，则需添加辅助线，构造直角三角形和矩形，再利用解直角三角形知识求解。

［例题3］贵州旅游资源丰富。某景区为给游客提供更好的游览体验，拟在如图11所示的景区内修建观光索道，设计示意图如图12所示，以山脚[A]为起点，沿途修建[AB]、[CD]两段长度相等的观光索道，最终到达山顶[D]处，中途设计了一段与[AF]平行的观光平台[BC]为50 m。索道[AB]与[AF]的夹角为15°，[CD]与水平线夹角为45°，[A、B]两处的水平距离[AE]为576 m，[DF⊥AF]，垂足为点[F]。（图中所有点都在同一平面内，点[A]、[E]、[F]在同一水平线上。结果精确到1 m。参考数据：[sin15°≈0.25]，[cos15°≈0.96]，[tan15°≈0.26]，[2≈1.41]）

（1）求索道[AB]的长；

（2）求水平距离[AF]的长。

图11                                图12

【分析】（1）在直角三角形[ABE]中，找出两个已知条件（一边一角），即[AE=576]和[∠BAE=15°]，可利用锐角三角函数求出索道[AB]的长度600米，所以[AB=CD=600]。（2）要求[AF]的长度，可添加辅助线，作[CG]垂直[DF]，垂足为[G]，构造直角三角形[DCG]，在直角三角形[DCG]中找出两个已知条件（一边一角），即[CD=600]和[∠DCG=45°]，利用锐角三角函数或勾股定理求出[CG]，从而求出[AF=AE+BC+CG]。

【详解】（1）在直角三角形[ABE]中，[AE=576]，[∠BAE=]15°，∴ [AB=AEcos15°=5760.96=600]。

（2）如图13，作[CG]垂直[DF]，垂足为[G]，在直角三角形[DCG]中，[CD=AB=600]，[∠DCG=45°]，∴[CG=CDcos45°=600×22=600×1.412=423]，∴[AF=AE+BC+CG=576+50+423=1049]。

【培养目标】引导学生利用解三角形知识解决坡角坡度问题，帮助学生理解坡角和坡度的概念，熟悉应用锐角三角函数和勾股定理解决实际问题。通过引导学生审题、分析问题，使学生掌握数形结合思想，提升学生的直观想象、数学抽象等核心素养。

应用解直角三角形解决仰角俯角、方位角、坡角坡度问题，要熟练掌握解题思路与方法，把握解题关键，找准解题切入点。

总之，解直角三角形是初中数学的核心内容，解直角三角形在解决实际问题中的应用是中考必考点。本文探讨解直角三角形在解决实际问题的应用，帮助学生掌握解决实际问题的数学思想方法，提升学生的解决问题能力和数学核心素养。

［   参   考   文   献   ］

［1］  黄金珠.解直角三角形在解决实际问题中的应用［J］.数理天地（初中版），2023（9）：28-29.

［2］  梁海栗.核心素养导向下的初中数学解题教学策略研究［J］.中学教学参考，2023（2）：10-12.

［3］  赵芳.论相似三角形在实际生活中的应用［J］.中学教学参考，2023（29）：13-15，25.

［4］  王志刚.逆向思维在初中数学解题中的应用［J］.中学教学参考，2023（29）：4-6.

［5］  中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2022年版［M］.北京：北京师范大学出版社，2022.

（责任编辑 黄春香）