高中三角函数教学运用GeoGebra软件的实践策略研究

董祥玲 王杨 田宇

摘要：信息技术的革新不断改变着教师的教学方式和学生的学习方式，对教师的教和学生的学都产生了重要的影响。GeoGebra软件是一款功能强大的动态数学软件，已逐渐成为数学教学、研究、学习和评价的重要辅助性工具。它能够动态地展示几何图形的生成、变化和运动等过程，帮助学生更好地理解抽象的几何知识。对此，针对运用GeoGebra软件的重要性、高中数学教学运用GeoGebra软件的策略、教学案例分析———以正弦函数的图象为例进行研究。

关键词：高中数学；GeoGebra软件；实践；策略

近些年来，随着我国教育信息化战略的实施，信息技术与数学教学的融合已被越来越多的数学教师所重视。GeoGebra作为一款功能强大的动态数学软件，已逐渐成为数学教学、研究、学习和评价的重要辅助性工具，为师生交流、生生交流搭建了平台，也为数学教学和学习提供了丰富多元化的课程资源。

一、运用GeoGebra软件的优势

（一）激发学生的数学兴趣

传统的数学课堂大多采用讲授法，教师通常将现成的数学结论直接灌输给学生，全然不顾学生对数学知识的认识过程和理解能力。殊不知这样的填鸭式教学方式会磨灭学生对数学的兴趣，致使数学课程枯燥无味，更谈不上启发学生对数学的思考。通过GeoGebra软件的强大功能，教师可以设计生动形象、丰富多元的趣味性教学活动，使学生参与到教学活动过程中，转变教学方式，有效激发学生对数学的学习兴趣和对新知的探究欲望，启发学生进行数学思考，使学生喜爱上数学，增强学习数学的信心。

（二）提高学生的信息素养

数学是一门高度抽象的学科，高中数学相较于初中数学更为抽象，很多数学概念或原理难以理解。由于GeoGebra软件能够将抽象的数学概念或原理的文字语言以直观、动态、可视化的图形语言展现出来，学生可以先用几何眼光观察，借助代数方法分析，从形到数，从数到形，形与数之间相互转化和结合，从而实现了学生自主发现数学猜想或规律，拓展自身的想象力和创造力，进而加强学生对数学概念或原理的本质理解。

（三）拓展数学课堂的新思路

将GeoGebra运用到中学数学课堂中，能够给传统数学课堂带来更多的创新与发展。GeoGebra功能强大，不仅能够绘制二维、三维几何图形，还能够实现代数计算、绘制函数、函数变换、关系判断等功能，既适用于几何教学，也适用于函数教学。以几何教学为例，GeoGebra软件能够简单迅速地建立几何模型，并通过投影、旋转等操作，直观准确地向学生展示三维几何体中点、线、面之间的关系，从而提升学生的空间想象能力。GeoGebra为数学课堂提供了一个高效平台，教师可以根据学生的实际情况自主调整教学课件、制作动态课件，有效地拓展了数学课堂的新思路。

二、高中数学教学运用GeoGebra软件的策略

（一）综合运用多种教学媒体

利用GeoGebra软件辅助数学教学能够使现代化的教学模式与传统教学模式相结合，有效优化教师的教学方式，从而弥补传统教学模式下枯燥、生硬、刻板的缺点。教师综合运用多种教学媒体，结合多种教学媒体的优势，取长补短，实现课堂教学效果的最大化。例如，教师可以先通过GeoGebra软件制作好课件的动态图，再将动态图嵌入PPT中进行展示，也可以通过电子白板或希沃白板展示GeoGebra软件的动画课件，并在白板上书写重要笔记予以强调，实时结合数学相关概念和知识点，促进学生的深入理解。

（二）创设动态化的教学情境

在传统教学模式下，数学课堂教学的呈现主要以静态的形式为主，如黑板上的呈现，PPT的呈现等。这些静态呈现不能很好地丰富数学课堂教学活动以及启发学生的数学思考，尤其涉及几何教学时，虽然教师有时也会使用一些简单的教学模具进行展示，但无法实现灵活的动态演示，致使基础薄弱的学生难以理解抽象的几何概念。因此，创设动态化的教学情境显得尤为必要。GeoGebra作为动态数学软件，动态化正是它的核心特点。它能够根据教学需求灵活设计，在课堂上展示几何图形的动态切割或展开等内容，例如画圆为方、绘制三角函数等。通过GeoGebra软件，创设出动态化的教学情境，从而实现传统教学课堂所无法实现的动态演示过程，更好地实现几何与代数的结合，培养学生的数形结合能力和直观想象素养。

（三）合理有效地运用信息技术

教师掌握信息技术并不意味着能够在数学教学中合理有效地运用，教师要注重信息技术下的数学教学知识，注重信息技术、数学课程、教学方法三者之间的融合，避免“唯技术论”的倾向。教师在使用信息技术软件GeoGebra设计课件时，不能一味地追求呈现一个好看的结果，要考虑教学目标的实现，要更多地在数学课堂上与学生进行互动。多设计一些探究性的问题，利用问题驱动，激发学生的好奇心和求知欲，启发学生对数学知识的思考。通过GeoGebra软件的动画演示、交互式动画，引导学生对数学知识进行总结归纳，深刻体会其中蕴含的数学思想。

（四）操作方便且功能强大

GeoGebra软件交互直观，在软件编辑中所看到结果与最终输出的结果具有相同的样式，操作界面清晰、简易。软件还内置了丰富的绘图与编辑工具，只需要简单的指令即可快速绘制函数、几何图形。GeoGebra也可以用于进行各种数学实验，如几何变换、函数变换等。通过实验，学生可以更加深入地理解数学概念和原理。使用GeoGebra软件，能够精准地找到各类无理数、复数点，解决了传统课程中各类图象绘制难的问题。同时，GeoGebra软件还能够满足教学中的差异化需求，教师能够根据课堂上的实际情况灵活调整教学内容与策略。此外，软件还拥有海量的社区资源可供使用，部分高考真题还有着详细的过程解析，不仅能够给教师提供交流的平台，也方便学生在课后自主学习使用。

三、教学案例分析———以正弦函数的图象为例

（一）教学内容分析

三角函数是学生学习的一类新的基本初等函数。在此之前教师已经带领学生学习了三角函数的定义。按照函数研究的方法，接下来就应该研究三角函数的图象和性质。正弦函数是三角函数中第一个重要的函数，理解和掌握正弦函数的图象是研究其他三角函数的重要基础[1]。

（二）案例设计过程

任意三角函数的正弦函数图象如何得到？按照前面学习函数图象的范式需要列表、描点、连线。为了解决描点时无理数如何进行描述的问题，根据正弦函数的定义，我们利用单位圆来辅助绘制。GeoGebra就可以完美地解决这个棘手的冲突。在GeoGebra软件的平面绘图区中先绘制圆心坐标为A（-1，0）的单位圆，在单位圆上取一动点P，其初始位置为原点（0，0），使点P作逆时针圆周运动。

作一点H，使点H的横坐标为点P绕圆心A旋转的弧度，纵坐标与点P的纵坐标相等，同时追踪点H的运动轨迹。那么，根据正弦函数的定义，点H的运动轨迹即为正弦函数y=sinx，x∈[0，2π]的图象。

通过GeoGebra软件的度量功能，分别将点H的横坐标、纵坐标的数值以动态文本的形式显示在绘图区中。

（三）案例应用

在实际教学中，教师先让学生观察图形，再通过提问的方式引导学生总结规律。比如，教师可以设置这些问题：1.根据三角函数的定义，需要绘制正弦函数在整个定义域上的函数图象吗？选择哪一个区间即可？2.已知点P在单位圆上，点P的纵坐标表示什么？点H的纵坐标和点P的纵坐标有什么关系？3.通过观察图形，点H的横坐标表示什么？点H的运动轨迹是什么？通过这些问题，学生就可以深入了解正弦函数图象。

我们可以设置如下的课堂情景：首先打开GeoGebra软件，并在代数区输入正弦函数，例如y =：sin（x）。GeoGebra会自动在图形区绘制出正弦函数的图象。教师可以在课堂上通过拖动滑动条或者点击输入框来改变x的值，观察正弦函数值的变化。

为了更深入地理解正弦函数的周期性，可以在代数区输入y=sin（x +2π），然后观察图形区的变化。学生会发现，正弦函数的图象并没有改变，这是因为正弦函数具有周期性，周期为2π。

在探究过程中，还可以利用GeoGebra的测量工具来测量角度、长度等，以便更准确地理解正弦函数的性质。

借助GeoGebra软件的动态性，教师可以引导学生通过鼠标操作从而观察点H的坐标与点P的关联性。例如，当点P绕圆心A旋转的弧度为1.11时，点H的位置如图 1所示，即sin1.11=0.89。当点P绕圆心A旋转的弧度为1.89时，点H的位置如图2所示，即sin1.89=0.95。通过选择连续坐标点，学生可以直观地感受到函数绘制的动态过程，从而深刻地理解正弦曲线，加深对正弦曲线函数图象的印象。

此外，在后续的研究中还可以通过改变正弦函数中的系数来探究其振幅和相位的变化。可以先通过GeoGebra软件制作好课件的动态图函数y=Asin（ωX+φ），再将动态图嵌入PPT中进行展示，也可以通过电子白板或希沃白板展示GeoGebra软件的动画课件，实时结合振幅、周期和相位对函数y=Asin（ωX+φ）的影响，在白板上书写重要笔记予以强调，促进学生的深入理解。

（四）案例小结

函数是中学数学的核心内容，从常量数学到变量数学是中学数学一大特点，体现了数学的一般性和抽象性。许多学生在理解三角函数概念和想象其函数图象时常觉得较困难。在上面的案例中，笔者应用GeoGebra软件的度量工具实时显示函数自变量和因变量的变化关系，并通过GeoGebra软件的平面绘图功能将三角函数图象的生成过程予以准确地绘制出来[2]。应用此案例，学生可以直观认识三角函数的图象，进而加深对三角函数的理解。由此可见，在辅助函数的教学中，GeoGebra软件具有提高学生数学抽象和直观想象能力的优势。

在高中数学教学中运用GeoGebra软件是一种有效的教学策略。通过动态展示几何图形、探索几何规律和提升学生的数学思维能力等方法，可以提高学生的学习兴趣、自主学习能力和数学思维能力[3]。GeoGebra软件的优势在于其动态性、交互性、跨平台性和开放性；而其创新用法则包括制作微课件、进行数学实验、创建交互式应用程序和在线协作学习等。这些优势和创新用法使得GeoGebra在数学教育和学习中具有广泛的应用前景。在实践过程中，教师运用多媒体教学、创设动态化教学情境、合理有效地运用信息技术等进行研究。只有这样，才能充分发挥GeoGebra软件的优势，提高高中数学教学的质量和效果。

参考文献：

[1] 罗建宇.从融合到创新：基于GeoGebra的数学深度教学[J]. 数学通报，2020（2）.

[2] 岳峻.指向数学学科核心素养的可视化教学：基于GeoGebra 的数学可视化实验[J].中小学数字化教学，2021（8）.

[3] 左晓明，田艳丽，贠超.基于GeoGebra的数学教学全过程优化研究[J].数学教育学报，2020（1）.

编辑/赵卓然