进阶式教学:助推学生数学“认知爬坡”

[摘  要] 进阶是学生学习的推动力，也是数学学习的目的所在。在小学数学教学中，教师应当以前测为基础，以目标为抓手、以互动为动力、以方式为支架，促进学生数学“认知爬坡”。开展进阶式的教学，可以提高学生学习数学的动力，可以有效发展学生的核心素养。

[关键词] 进阶式教学;数学认知;认知爬坡

《礼记·曲礼》中说“拾级聚足，连步以上”，这一论述后来演变为“拾级而上”，指“顺阶梯步步往上走”。在教学领域，“学习进阶”是美国教育家史密斯提出来的一个概念。所谓“学习进阶”是指“在学习某一个概念过程中所遵循的系列性的复杂路径”。进阶式教学是一个循序渐进的从简单到复杂、从陌生到熟悉、从片面到全面、从单一到综合、从现象到本质、从复制到创造的发生、发展、创新的过程。开展进阶教学除了能提升学生的数学学习能力之外，学生的核心素养也能得到充分发展。

一、以前测为条件，催生学生的“学习进阶”

学生的“学习进阶”类似一种“序列”。“学习进阶”是描述学生在各个阶段所遵循的一种连续性、连贯性、代表性、从单一到综合、从简单到复杂的学习过程。教师必须精准掌握学生的具体学情，从而让自己的进阶式教学有的放矢。以前测作为进阶式教学的基础是助推学生数学“学习进阶”的前提、条件和保障。“前测”是对学生数学前知识经验的一种探测过程。借助前测，教师能掌握学生的已有知识经验等。

正如美国学者奥苏贝尔所说，“影响学生学习数学的因素是学生知道并了解了什么，以此为基础开展有效的教学活动”。“前测单”不仅能让教师了解学生的已有认知基础，更能让教师探测到每一位学生的认知逻辑。有了前测，教师的教学就能切入学生的“最近发展区”，引导学生由现有水平转变成为可能的发展水平。比如教学“间隔排列”时，笔者借助前测单对学生开展前测工作。结果发现，学生对于具体的间隔排列问题都能通过简单的、直观的“数一数”得出相关的结论，但学生对于间隔排列的问题缺乏整体性、系统性的思考。因此，以学生的前测为基础，笔者通过对教材主题图“手帕和镊子”“木桩和篱笆”“兔子和蘑菇”等一一间隔排列的物体进行集中呈现，引导学生“数一数”“填一填”“比一比”“说一说”，对“两端物体相同”“两端物体不同”的一一间隔排列的物体的规律进行概括，并努力促成学生对间隔排列问题的本质性理解，即“为什么有时候两种物体的个数相等，有时候两种物体的个数相差1个”。通过对间隔排列的两种物体一一对应地“圈一圈”，能让学生看到不同排列的两种物体的组合，能让学生发现间隔排列中两种物体的对应关系。在此基础上，笔者引导学生根据要求创造性地设计间隔排列。

以前测为基础，能让教师的教学更具针对性、实效性。在上述间隔排列问题的教学中，通过对学生的学情前测，教师将教学重点放置在引导学生建立“一一对应”的数学思想上。教师应引导学生构建起一一对应数学思想，激发每一个学生的好奇心，以及对数学学习的欲望，让学生的学习积极性与创造性得到调动。对学生进行前测测试，可帮助学生突破教学的重难点，突破对数学的认知与思维的困境。

二、以目标为抓手，推动学生的“学习进阶”

目标是学生数学学习的路标。教学中，教师不仅以学生的学习经验为基础，催生学生的“学习进阶”，还能以学生的学习目标为抓手，推动学生的数学“学习进阶”。从原点到目标是一个连续性的学习进程。进阶视野下的数学教学，不仅要求学生的学习是连续性的，还要求教师的教学是连续性的。教学中，教师要夯实学生的数学学习基础，指明学生的数学学习目标，要让目标成为推动学生“学习进阶”的“引擎”，成为指引学生数学“学习进阶”的“灯塔”。

以目标作为抓手，教师要把握“此一课目标”与“彼一课目标”，把握“此一目标”与“彼一目标”。过去，只是教师知道自己的教学目标，而学生不知道自己的学习目标。学习目标的隐匿，导致学生的数学学习过程如同“在黑夜中前行”。比如教学“解决问题的策略——一一列举”时，笔者在教学中呈现了这样的教学目标：（1）让学生经历用列举的策略解决简单的实际问题的过程，掌握列举的方法，让列举有序、不重复、不遗漏;（2）在问题反思、沟通过程中，可以更好感受一一列举的价值以及存在的特点;（3）在列举的过程中积累解决问题的经验，增强解决问题的信心。借助于这样的目标，笔者在教学中，引导学生采用列举法来解决问题，并引导他们在这个过程中掌握相应的方法，这些方法比较多元化，比如分类法、序列法、穷举法、规律探究法等。在教学中，针对学生的学习目标，借助不同的例题，引导学生逐步掌握列举的策略。比如，“用22根一米长的栅栏围成长方形花圃”主要是让学生有序列举;“四支球队进行比赛”主要是让学生不遗漏、不重复列举。在后续的练习中，教师相机渗透、融入其他相关的列举方法，如穷举法、规律探究法等。以目标作为抓手，让学生可以亲身经历列举的过程。从列举到有效列举，到最后的策略性列举，每一个过程学生都亲身参与，效果自然不一样。

学生开展数学学习，最后都要回到其原点：目标。目标不单是原点，也是学习的归宿。教师在教学时需要进行有效“示标”，让学生对准学习目标有计划、有步骤地开展学习。目标是学习基础，也是学习条件。教师以目标为抓手，让学生的数学学习具有条理性，借助目标可引导学生的数学学习不断进阶。

三、以互动为动力，助推学生的“学习进阶”

“学习进阶”可理解成学习序列的进阶，进阶式教学注重学生数学学习的连贯性、层次性。教学过程中教师以互动作为原动力，促进学生开展有效的交流和对话，在进阶式的教学中包括教师与学生、学生与学生的互动交流。互动性教学能让学生掌握一些基础内容，然后向上而学，进一步掌握提升学习的方法。

比如“三角形的三边关系”教学过程中，一些教师提供的工具是不会动且长度固定的小棒，这样的素材不利于学生进行的多元互动。在教学中，笔者设计了灵活多变的小纸条。其中一根纸条固定不变，另外两根纸条的长度不断变化，从而导致三根纸条的关系不断变化。当两根变化的纸条的长度和小于或者等于第三根纸条的时候，三根纸条不能围成三角形;当两根变化的纸条的长度和大于第三根纸条的时候，还会出现另外两根纸条的长度和小于这一根纸条的情形。这样的发现让学生彼此之间积极互动：有的学生认为，三角形a、b两条边的和必须大于第三条边c，三角形a、c两条边的和也必须大于第三条边b，三角形b、c两条边的和也必须大于第三条边a;有的学生说，三角形的三条边中任意两条边的和都必须大于第三条边;还有的学生说，三角形的三条边中，较小的两条边的和必须大于最长的那条边等。在互动的过程中，学生对“三角形中较小的两条边的和大于第三条边”产生了异议：有的学生说，如果三角形中有两条边相等，并且这两条相等的边可以是较小的边也可以是较长的边，用“三角形中任意两条边的和大于第三条边”来规定三角形的三边关系比较好。这样，学生在这种多元互动的过程中，对“三角形的三边关系”的认知实现进阶，感悟到“任意两条边的和大于第三条边”的“三条边围成三角形的充要条件”中的“任意”一词的必要性、精准性、科学性、合理性。

多元互动能够促进学生对数学知识的建构，对方法、思想等的感悟。在小学数学教学中，教师要引导学生对数学知识进行深度分析，从而促进学生对数学知识的认知、思考，让学生把握数学知识的本质、关联。教师要为学生的“学习进阶”提供支持，让学生科学、合理地建构新知。通过多元互动，让学生对数学知识的建构更深入、更连续、更精准、更富有意义和价值。

四、以方式为支架，引导学生的“学习进阶”

开展进阶式教学，教师要以互动为动力，以方式为支架。以学习方式为支架，关键是要依循学生的学习兴趣，盘活学生的学习经验，激发学生的数学思维、想象，让学生经历充分的数学化、形式化、公理化的学习过程。

比如教学“运算律”时，教师可以引导学生建构“学习模”。具体而言，就是教师在引导学生学习“加法交换律”的时候，先联系学生的生活，引导学生积极猜想，然后引导学生积极验证。通过这部分内容的学习，教师引导学生总结现有的学习方法，并做好归纳工作，这种方法称为不完全归纳法。以方法为基础，教师要引导学生开展进阶式学习，让学生可以自主学习更多的内容，如乘法的交换律等各种内容。

这样基于“不完全归纳法”的学习能让学生在数学学习过程中积极主动地提出相关的问题，并积极主动地举例验证。对学生而言，“不完全归纳法”作为一种重要的学习方式，不仅对学习“运算律”这部分内容，而且对学习其他相关内容都具有重要的意义和价值。以学习方式为支架，能引导学生的数学学习不断进阶，能有效发展学生的高阶思维和高阶认知。

在小学数学教学中，学生表达数学知识、表征数学知识的方式等都是不尽相同的。教师要赋予学生自主表达数学知识的权利、时空，让学生能用自己喜欢的方式进行表达。在这个过程中，教师要融入、渗透相关的数学思想方法。以相关的学习方式为学生数学思考、探究的“脚手架”，能助推学生数学思维螺旋式发展。进阶式教学能优化学生的数学思维和认知品质。

“进阶”是学生数学学习的一种方式，也是学生数学学习的动力和目的。教师要以前测为基础、以目标为抓手、以互动为动力、以方式为支架，助推、引导学生的数学学习不断进阶。进阶式教学能促进学生的“认知爬坡”，能促进学生的数学学习力不断提升。

作者简介：王涵（1990—），本科学历，中小学二级教师，从事小学数学教学工作。