数学基本活动类型及范式探寻

[摘  要] 活动是学生数学学习的一种样态，教师要不断探寻学生数学活动的类型、范式等。小学数学学科教学主要有切片性活动、并列性活动、阶梯性活动和混合性活动四种范式，这些范式有各自独特的操作流程。探寻数学基本活动的类型能优化师生活动的教与学，让师生活动的教与学更科学、更高效。

[关键词] 小学数学;数学活动;活动类型;教学范式

小学数学教学说到底就是数学活动的教学。活动是学生数学知识、技能、智慧等形成的载体，也是学生经验建构的方式，更是学生数学思想方法形成的源泉。活动质量、活动品质、活动样态等关乎着学生的数学学习效能。精心研究、设计、组织实施活动是教师的教学使命与责任，教师要不断深入地研究活动，针对不同的数学知识以及学生的具体学情开展不同的活动。探索数学活动的类型及其相对应的活动范式，能让学生的数学学习更科学、更高效。

一、切片性活动及其设计

“切片”是一个形象的术语，是指一种“单一性”“暂时性”“环节性”的数学活动。切片性活动是指在学生的数学课堂学习过程中，仅仅是针对某一个知识点而开展的单一性的活动。这种活动往往聚焦于学生数学学习重点、难点、疑点或盲点，往往凸显数学核心知识、关键内容等。切片性的数学活动的过程就是“问题→活动→结论”式，能引导学生在活动中深度思考、探究。通常而言，切片性活动的操作往往是嵌入在课堂之中的，是学生数学学习的一部分。因此，在课堂上切片性数学活动会有多个，它们之间没有关联，都是一个个独立性的活动。

比如教学“认识厘米”这一部分内容时，教师可以引导学生进行切片性的活动：引导学生去比较物体的长短，让学生产生“统一度量单位”的内在心理需求;引导学生借助订书钉、指甲、田字格等相关物体的宽度认识“单位厘米”，助推学生建立“单位厘米”的表象;引导学生将一个个的单位厘米串接起来，构建厘米尺的雏形，对厘米尺雏形进行优化、完善。学生充分经历了“厘米尺”的建构、创造过程，这样的活动过程是逐步深化、发展的过程。一个个的问题激发了学生内在的心理需求，让学生自然产生了一个微型的切片性活动。借助切片性活动能深化学生对厘米相关知识的本质理解，同时能促进学生感悟“测量”“测量工具”的意义和价值。通过切片性活动，学生能有效地根据实验过程得出相关的数学结论，即“测量物体的长度归根结底就是看被测量物体的长度中包含多少个测量单位”。切片性活动帮助学生直观、深刻地理解相关知识，感悟相应的数学思想等。

切片性活动是学生数学学习中经常开展的活动，教师要根据数学教学内容和学生的具体学情相机实施。因此，切片性活动具有高度的开放性、生成性。尽管切片性活动是一个单一性的活动，却有着完整的猜想、验证、探究、结论等全过程。因此，在切片性活动中教师要引导学生充分经历这一过程，以便让学生深刻理解数学学科知识的本质。

二、并列性活动及其设计

与切片性活动相对应的是关联性活动。相较于切片性活动，关联性活动是一种复合性的活动。关联性活动包括并列性关联活动、对比性关联活动和递进性关联活动。其中，并列性关联活动是指活动与活动之间没有主次之分，教师可以引导学生同时开展相关活动，并且都能得出相关的数学结论。并列性活动范式是“活动—活动—活动—……→结论”式。在引导学生开展并列性活动时，教师要鼓励学生充分地互动、交流、研讨。

比如教学“梯形的面积”这一部分内容时，笔者让学生思考：怎样推导梯形的面积计算公式，用怎样的思想方法进行推导？基于学生的已有活动经验，笔者让学生自主猜想、大胆尝试。于是，学生以小组为单位，开展并列性的数学活动：有的小组学生应用剪拼的方法，将梯形分成直角三角形、长方形等，然后将剪拼的部分拼接成长方形;有的小组学生模仿三角形的面积的推导方法，用中国古代算术中的“半广以乘正从”原理将梯形转化成长方形;有的小组学生模仿三角形面积倍拼的推导过程，将梯形用倍拼的方法转化成平行四边形;还有的小组学生别出心裁，将梯形分割成两个三角形等。不同小组的学生开展着并列性的数学活动，这些活动应用相同的数学思想——“转化”，使用了不同的转化方法，比如倍拼法、剪拼法、分割法等。并列性的数学活动可以在同一时空下开展，它们之间没有优劣之分，仅仅是视角、方法不同等。教师可以引导学生将并列性的数学活动进行比较，从而让学生的数学活动经验得到分享、共享，让学生的数学活动智慧得到互通。并列性的活动设计基于同一个问题，却采用不同的实验路径、策略、方式和方法，最终都能让学生发现数学结论、建构数学新知。

并列性活动之间没有主次之分、轻重之分，活动与活动的关系是并列的。教师要善于赋权、善于放权，真正将学生学习的时空让渡给学生，真正让学生成为学习的主体，而不给学生设定一些固化的、固定的框框。如此，学生就能基于自我已有知识经验，采用独特的、个性化的方法开展数学探索。这些个性化的活动充分彰显了学生数学学习的主体性、独特性，是学生数学素养的确证与表征。

三、阶梯性活动及其设计

阶梯性活动是一种复合性的数学活动。所谓“阶梯”是指“能让人拾级而上的台阶”，是一个形象的比喻，是指不断进阶的过程。学生的活动不是同水平的重复，而是一个螺旋上升的过程。如果并列性活动是一种活动的并联，那么，阶梯性的活动就是活动的串接、串联，其基本的范式是“活动—发现—再活动—再发现—再活动……得出结论”的过程。在小学数学教学中，教师要借助活动引导学生的数学学习不断跃迁。显然，阶梯性活动是学生的活动不断升级、不断提升、发展的过程。阶梯性活动针对的是通过一个活动不能有效解决问题，而只有依托多个活动才能有效解决问题的现象。

比如教学“钉子板上的多边形”这一部分内容时，教师就可以采用阶梯性活动的方式，引导学生逐步探究相关的问题。在活动伊始，教师可以引导学生进行总的数学猜想：钉子板上多边形的面积可能与什么有关？通过猜想，开辟学生阶梯性活动路向：一是要探寻多边形的面积与图形上的格点个数的关系;二是要探寻多边形的面积与图形内的格点个数的关系。在这个过程中，学生意识到多边形的面积可能与两个变量有关。为了研究的方便和发现规律，有个学生提议：可以借鉴科学学科中的控制变量法，用对比性实验活动的方式开展探索。于是，学生开展第一层次的活动：探寻多边形的面积与图形边上的格点数之间的关系。学生积极主动地控制图形内部的格点数，比如让图形内部的格点数始终为1，变化图形边上的格点数，进而得出相应的数学结论：当图形内部格点数为1的时候，图形的面积等于图形边上的格点数除以2。在此基础上，教师引导学生探寻图形的面积与图形内部格点数的关系。这样，学生就会控制图形边上的格点数（当然，不同小组的学生控制图形边上的格点数的个数不相同），变化图形内部的格点数（从图形内部格点为0，1，2……开始），进而建构“皮克定理”，即“多边形的面积等于图形边上的格点数÷2+图形内部的格点数-1”。通过两个阶梯性的数学活动，引导学生得出相关的数学结论。

并列性活动是从不同的切入口展开，下一个数学活动的切入口就是上一个数学活动的结论。只有这样，活动才具有一种连续性、发展性、进阶性。教师要谋划好学生数学学习的步骤，引导学生循序渐进地开展数学活动，促进学生数学思考、探究的不断升级。

四、混合性活动及其设计

所谓“混合性活动”是指“教师在教学中引导学生既采用并列性活动，又采用阶梯性活动，并且将阶梯性活动与并列性活动融合、交织在一起的活动方式”。混合性活动的指向就是建构数学知识、建构数学模型。在混合性活动中，教师既可以引导学生采用模型法、模拟法，又可以引导学生采用控制变量法、对比法进行活动。混合性活动在学生的数学学习中有着广泛的应用，能有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

比如教学“三角形的内角和”这一部分内容时，笔者引导学生进行自主性探索。学生首先想到用物态化、操作化的实验进行探究。于是，学生开展第一个并列性活动，即学生用“测量法”“折角法”“撕角法”等探索三角形的内角和，从而得出三角形的内角和是180°的结论，或者得出三角形的内角和约是180°的结论。在此基础上，承接学生的外显的操作性活动，引导学生通过演绎、推理等方法来严格证明：比如可以让学生通过作平行线的方法来探究，可以让学生用旋转的方法想象三角形的内角和，可以让学生用“帕斯卡推理法”来验证三角形的内角和是180°等。在第二个层次的探究活动中，学生同样开展并列性活动。但相比较于第一个层次的数学活动而言，这个层次的数学活动是一种进阶性、上升性的活动。换言之，在“三角形的内角和”探究活动中，第一、第二层次的活动在层次内、学段内都是并列性活动，而在层次间、学段间则是一种阶梯性活动。这种混合性的活动设计，其范式是“活动1—活动2……结论1”“活动1—活动2……结论2”。这样的范式层次清晰、结构清晰、脉络清晰，具有可操作性，是学生数学学习的重要范式。

学生的数学学习是一个多层次、结构化、系统化的活动过程。对活动范式的实践研究不仅能提升教师的教学力，更能增强学生数学活动的理性自觉。在数学活动过程中，教师要主动引导学生应用相关的数学思想方法，要做好积极的示范引导工作。在引导学生开展相似性活动时，教师可以采用“教结构—学结构—用结构”的范式，助推学生的数学学习迁移、应用。教师通过对数学活动的范式研究，让学生的数学学习从“他组织”走向“自组织”，从线性走向立体、多维。如此，学生的数学活动就会焕发出生命的活力。

活动是学生数学学习的一种样态。在小学数学学科教学中，教师要积极探寻数学活动的类型、范式、结构框架、注意事项等。只有这样，教师才能更好地引导、助推学生的数学活动。通过对活动的深度研究，教师可以更高效、更科学地研发、设计、组织、实施活动。数学活动能充分发挥数学学科的育人功能，彰显数学学科的育人价值。数学活动指向学生数学学习的过程，能帮助学生积累数学基本活动经验、感悟数学思想方法等，能有效提升学生的数学学习力，发展学生的数学核心素养。

作者简介：顾嘉诚（1993—），本科学历，中小学二级教师，从事小学数学教育教学工作。