以实验促探究 培养核心素养

罗美秀

［摘 要］新课标要求高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，而数学实验教学是落实数学学科核心素养的重要途径。文章以“正弦函数和余弦函数的图象”教学为例，探讨数学实验教学的具体实施方法。

［关键词］数学实验；核心素养；正弦函数；余弦函数

［中图分类号］    G633.6        ［文献标识码］    A        ［文章编号］    1674-6058（2024）11-0005-03

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称《课标》）指出：“高中数学教学以发展学生数学学科核心素养为导向，创设合适的教学情境，启发学生思考，引导学生把握数学内容的本质。提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式，激发学习数学的兴趣，养成良好的学习习惯，促进学生实践能力和创新意识的发展。”数学家波利亚指出：“数学有两个侧面，一方面，它是欧几里得式的严谨科学，从这方面看，数学像一门系统的演绎科学，但另一方面，创造过程中的数学，看起来却像是一门实验性的归纳科学。”然而，部分高中数学教师一直采用单一的教学方式——讲授式教学，只注重“抽象性”“逻辑性”，忽视“创造性”“实用性”。学生没有经历知识的形成发展过程，而是死记硬背知识点，通过听教师讲解、做习题的方式掌握学习内容，而这样的学习模式会让学生陷入“题海”，无法触类旁通、举一反三。学生每天“埋头苦干”，但成绩依然不理想，久而久之，就对数学失去学习兴趣。

数学实验是指在数学教学过程中为了发现数学规律，探究数学知识，验证数学结论（或假设），而利用有关工具进行的操作和思维活动。数学实验为学生探究数学奥秘提供了一种有趣的途径，它能吸引学生的注意力，调动学生主动参与课堂活动、主动学习、主动思考的积极性。在高中数学教学中恰当地运用数学实验，有利于引导学生参与实践、自主探索、合作交流，有利于引导学生发现问题、提出问题、分析问题，提出猜想，验证猜想，最后解决问题。通过数学实验，学生能获得一个主动学习、积极建构新认知结构的学习环境，能够培养直观想象、逻辑推理、数学建模等数学学科核心素养，从而落实“学生发展为本，立德树人，提升素养”的基本理念。

一、课前准备

1.将班级学生分为10个学习小组。

2.让学生以小组为单位，利用网络查阅资料了 解沙摆简谐振动实验原理。

3.让学生根据实验原理准备好实验器材（简易漏斗、细绳、干细沙、白纸、架子等）。

二、教学过程

（一）创设情境，设问导学

［师生活动］重温沙摆简谐振动实验，了解有关实验原理。

［学生活动］小组合作进行沙摆简谐振动实验，并展示小组的实验成果。

［教师活动］对学习小组的实验过程和实验结果进行点评，并针对学生的实验成果提出问题：每个小组的实验成果都是一条优美的曲线，这样的曲线要用什么函数来刻画呢？

设计意图：利用沙摆简谐振动实验吸引学生的注意力，让学生快速进入学习状态。通过小组合作进行沙摆简谐振动实验，使学生体会实践的乐趣，直观感知正弦函数、余弦函数图象的形成过程，培养学生的直观想象素养。借助实验使学生产生情感共鸣，引出本节课的课题。

（二）实验引领，探索新知

［教师活动］以实验为引领，提出以下问题，引导学生探索新知。

问题1：正弦函数的定义是什么？能否利用正弦函数的定义画出其图象？

设计意图：通过回顾，引导学生明确正弦函数的定义及正弦函数与单位圆之间的关系，为画正弦函数的图象做准备。

问题2：你能画出当[x]的值分别为0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]时对应的正弦函数[y=sinx]图象上的点吗？

［师生活动］结合单位圆和正弦函数的定义，在平面直角坐标系中画出[x0]的值分别为0，[π/6]，[π/3]，[π/2]，…，[2π]时对应的正弦函数图象上的点T（x0，sin x0）（如图1）。

设计意图：引导学生结合正弦函数的定义在平面直角坐标系中画出正弦函数图象的特殊点，深化学生对正弦函数定义的理解；让学生结合点的坐标的几何意义，准确描点，使学生直观感受正弦函数图象的画法，培养学生的逻辑推理能力。

问题3：你能画出正弦函数在[0，2π]上的图象吗？

生1：只要在[0，2π]上取足够多的点T（x0，sin x0），并用光滑的曲线将这些点连起来，就可以得到正弦函数的图象。

问题4：这样的函数图象精确吗？

生2：不够精确。因为画图时只是用了图象的一些点，而不是全部，所以不够精确。

［教师活动］利用希沃白板的作图工具画出正弦函数[y=sinx]，[x∈0，2π]的图象（如图2），并与图1作比较。

设计意图：利用希沃白板的作图工具辅助教学，展示正弦函数在[0，2π]上的图象的形成过程，使学生理解正弦函数的图象与定义之间的联系，渗透数形结合思想，为后续的“五点法”作图奠定基础。

问题5：在精确度要求不高的前提下，如何快速画出正弦函数在[0，2π]上的图象？

［学生活动］观察图象并自行找出快速画图的关键点。

［教师点评］在精确度要求不高的情况下，只需画出正弦函数的五个关键点：[（0，0）]，[π/2，1]，[（π，0）]，[3π/2，-1]，[（2π，0）]，就可以画出正弦函数图象。总结“五点法”作图的步骤：列表（列出对图象形状起关键作用的五个点的坐标）、描点（描出五个关键点）、连线（用光滑的曲线顺次连接五个点）。

设计意图：通过问题5，引导学生观察正弦函数的图象，概括其特征，获得“五点法”作图的简便画法，培养学生的数学抽象、逻辑推理素养。

［例1］画出[y=1+sinx]，[x∈0.2π]的简图。

［学生活动］小组合作探究并利用希沃授课助手展示交流。

［教师活动］对学生的探究成果进行点评，分析如何找出作图的五个关键点，点出例1的易错点。

设计意图：加深学生对“五点法”作图的理解；引导学生进行小组合作探究，培养学生的合作意识。

问题6：如何得到正弦函数在R上的图象？

［教师活动］引导学生通过“终边相同的角的三角函数值相等”这一知识点发现函数[y=sinx]，[x∈2kπ，2（k+1）π]，[k∈N*]且[k≠0]的图象与函数[y=sinx]，[x∈0，2π]的图象形状完全一样，只需将[y=sinx]，[x∈0，2π]的图象不断地向左或向右平移[2π个]单位长度就可以得到正弦函数在[R]上的图象（如图3）。

设计意图：引导学生利用诱导公式[sin2kπ+x=sinx]，[k∈Z]，发现函数的变化周期为[2kπ]，将函数的定义域由[0，2π]推广到[R]，将函数[y=sinx]，[x∈0，2π]的图象不断向左或向右平移[2π]个单位长度可得到正弦函数在R上的图象；利用信息技术展示图象平移过程，让学生直观感受图象的形成。

问题7：正弦函数与余弦函数有什么联系？

问题8：通过怎样的图形变换，才能将正弦函数的图象变换为余弦函数的图象？

［教师活动］引导学生探究正弦函数[y=sinx]与余弦函数[y=cosx]的关系，并由“[y=cosx=sinx+π/2]”发现正弦函数与余弦函数图象间的联系。

[y=sinx的图象向左平移π/2个单位长度y=cosx=sinx+π/2]的图象（如图4）。

设计意图：让学生通过实验论证推理结论，体会诱导公式是图象变换的代数依据；让学生体验将正弦函数的图象向左平移[π/2]个单位长度后得到余弦函数的图象，增强学生对两个函数图象联系性的认识。

问题9：你能找出画余弦函数[y=cosx]，[x∈0，2π]的图象的五个关键点吗？

［教师活动］引导学生类比画正弦函数[y=sinx]，[x∈0，2π]图象的五个关键点的方法，快速找出画余弦函数[y=cosx]，[x∈0，2π]的图象五个关键点。

［学生活动］分组讨论，找出画余弦函数[y=cosx]，[x∈0，2π]的图象的五个关键点为[（0，1）]，[π/2，0]，[（π，-1）]，[3π/2，0]，[（2π，1）]。

设计意图：引导学生类比“五点法”作正弦函数的图象，快速画出余弦函数的图象，培养学生的类比思想。

［例2］画出[y=1-cosx]，[x∈0，2π]的简图。

［学生活动］小组合作探究。

设计意图：让学生合作探究，进一步加深对“五点法”作图的理解，同时检测学生对“五点法”作图的掌握情况。

（三）课堂小结，升华知识

教师通过思维导图，引导学生归纳总结本节课的重点内容（如图5）。

设计意图：通过思维导图，将本节课的知识点形成知识网络，便于学生理解知识的形成过程，加深学生对知识的理解，提升学生的学习效果。

三、教学反思

数学实验教学是一种高效的教学模式，是探究数学新知的重要途径。如何才能更好地利用数学实验辅助教学呢？笔者觉得可从以下几个方面入手。

（一）深挖教材中的数学实验案例

高中数学教材中的思考、探究、课后阅读等板块含有很多数学实验案例，这些数学实验案例类型较多，如操作性数学实验、思维性数学实验、计算机模拟实验等。为帮助学生理解逻辑性、抽象性很强的数学知识，教师要细读、精读教材，深挖教材的数学实验案例，同时要与时俱进，熟悉各种常用的信息技术、教学软件，根据教学内容和学生学情巧妙设计教学情境，带领学生在数学实验中获取新知，体验数学实验的乐趣，激发学生学习数学的兴趣。

（二）采用问题引领数学实验的教学方式

在数学实验教学中，教师要设计合理有效的问题。问题引领下的数学实验教学是启发学生思考、探索新知，培养学生数学学科核心素养的重要教学方式。教师在设计问题前，要深挖教材，充分利用教材资源，将知识与实际问题相结合，设计既相互独立又有联系的问题，让学生在解决问题的过程中巩固知识，实现知识的内化与灵活运用。另外，教师要注意问题的多样性，让学生能够学会从不同的角度思考问题，同时也要注意问题的挑战性，由易到难，由浅入深，提高学生的思维能力。

（三）落实合作探究与交流的学习方式

通过合作探究与交流，学生能经历知识的形成过程，深刻理解知识，牢固掌握知识，能够灵活运用知识解决问题。在数学实验教学中，教师要为学生创造合作学习环境，引导学生小组合作进行实验探究，同时借助信息技术实现组与组之间的交流。小组合作探究，不仅可以让学生从多方面分析问题，深化对问题的理解，发现问题的本质，在交流探究结果中找到问题的最优解，还可以充分调动学生学习的积极性，让学生积极参与学习，同时提高学生的合作学习能力。

（四）充分利用信息技术丰富学习资源

《课标》指出要注重信息技术与数学课程的深度融合。学习是接收、处理、内化外部信息的过程，但数学具有很强的逻辑性和抽象性，而学生的认知水平有限，逻辑思维能力也存在一定的局限性，对数学知识还不能够完全理解，并进行内化。因此，教师需要将数学知识进行处理，使其具体化，帮助学生更好地接收、理解、内化、运用知识。近年来，随着信息技术的快速发展，涌现出了很多教学软件，为高中数学教学提供了更多、更便利的条件。利用信息技术辅助高中数学教学，不仅能为学生提供丰富的学习资源，还可以通过具体的图象呈现抽象的数学知识，进一步加深学生对知识的理解，帮助学生实现知识迁移与运用，使学生的数学学科核心素养得到有效提高。

［   参   考   文   献   ］

［1］  中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准：2017年版2020年修订［M］.北京：人民教育出版社，2020.

［2］  赖伟伦.开展数学实验，提高学生的数学素养［J］.中学数学杂志，2003（10）：12-14.

［3］  师晓娜.创设真实问题情境，引发探究学习兴趣［J］.小学科学（教师版），2016（1）：106-107.

（责任编辑 黄桂坚）