习题教学功能之促进思维提升和素养发展（上）
2024-06-18何月丰
［摘 要］促进学生思维品质的提升和核心素养的发展是数学教学的最终目标。要实现这样的目标，就要关注数学教学的全过程，即例题教学和习题教学都要重视，并在日常教学中落实。实践证明，习题教学相对于例题教学而言，在时间、内容和形式三个方面对落实上述目标更具优势。由此，小学数学习题教学就承载起了新的功能。
［关键词］习题教学；思维品质；核心素养
［中图分类号］ G623.5［文献标识码］ A［文章编号］ 1007-9068（2024）15-0004-06
随着课程改革的不断深入，教学目标也随之不断调整和丰富。因此，小学数学教学除了要有效落实“双基”，自然还有更高的追求，这就赋予了习题教学新的功能。
一、促进学生思维品质的提升
（一）数学是思维的体操
“数学是思维的体操”，这句话表明数学与思维的紧密联系。因此，当我们谈及数学，特别是谈及数学教学的意义或价值时，常常以数学对学生思维的发展作为一个重要的追求或目标。如“为思维发展而教”“数学教学重在发展思维”等提法，经常出现在一些数学教学的研究成果或研讨活动之中。
那么，数学和思维之间到底有着怎样的联系呢？这似乎尚未清晰，因为我们常常只是说数学可以发展思维，而不细说到底是怎么发展的。因此，厘清这个问题，显然有助于我们更好地把握数学和思维之间的关系，更好地实现用数学来促进学生思维发展这个目标。
对此，我们不妨先来欣赏下面这幅“思维是什么”的漫画（见图1）。
图1 “思维是什么”漫画（来源于网络）
漫画中的小女孩代表“思维”，她产生了一个疑问：“我到底是谁的小孩？”
从漫画中我们可以看到，哲学是思维的“爷爷”，教育学是思维的“奶奶”，逻辑学是思维的“姐姐”，心理学是思维的“哥哥”，科学是思维的“叔叔”，管理学是思维的“老师”。确实，“思维涉及多个学科，因而呈现出心理学、哲学等多学科，多角度的研究态势”。
不过奇怪的是，从这幅漫画中我们是找不到数学的，思维和数学似乎没有任何联系。那么，漫画中的说法有道理吗？《思维发展心理学》一书的“绪论”部分谈到了“思维是由多种学科来研究的”，并一一作了解读。书中介绍这些研究思维的学科分别是哲学、逻辑学、心理学、语言学、神经学、控制论和信息学。在研究思维的学科中依旧找不到数学。由此大概可以明白一个现实：数学是不研究思维的。数学不研究思维，那为什么要说“数学是思维的体操”呢？这是因为数学不研究思维本身，但是数学是可以锻炼思维的。下面这段话可以为此提供佐证。
数学是思维的科学。这句话，大概不会有什么反对的意见。谁都知道，数学能够启迪、培养、发展人的思维。虽然也有其他学科或其他方式可以培养人的思维，但在深度、广度、系统性等方面，是无法与数学相比的。
——单墫
由此可以进一步得出一个结论：数学是锻炼人思维最好的载体。我想，这便是“数学是思维的体操”的本质内涵吧！
（二）数学可以提升思维品质
“数学是思维的体操”这句话虽然道出了“数学是锻炼人思维最好的载体”，但总体来说，这样的描述还是比较抽象的，即数学到底锻炼的是人怎样的思维，或是思维的哪个方面，没有具体交代。讨论这个问题，就要对思维再进一步细化。就目前来说，对这个问题有一些不同的看法，如有抽象地说“锻炼思维能力”，也有细化一些说成“锻炼逻辑思维”。其中，看法比较集中的有两种：一是说培养学生的高阶思维；二是说提升学生的思维品质。
基于对思维的理解，在高阶思维与思维品质之间做出选择，我认为数学对人的思维的锻炼，主要体现在提升人的思维品质上。对此，有以下三个理由。
1.思维品质的概念相对较为明确
当下，在数学教学中培养学生高阶思维的呼声非常高，“高阶思维亦被认为是21世纪必备的素养与技能，是认知科学与学习科学领域的研究重点，也是目前教学过程的核心价值取向”。高阶思维的提法虽由来已久，但真正进入我们视线的时间其实并不长。据相关研究数据统计，有关高阶思维的研究在2014年后开始增多。另有研究指出，国内对高阶思维的研究还存在着认识不清、认识片面等问题，他们或是片面地从布卢姆（Bloom）的教育目标分类理论来解释高阶思维，或是借鉴国外思维研究的成果，罗列出诸如批判性思维、问题解决、创造性思维等不同种类的高阶思维。由此可见，对高阶思维的概念界定尚没有较为统一、令大家信服的结论。
相比于高阶思维在概念上的不确定性，思维品质的概念就较为统一。一般认为，思维品质是个体在思维发生和发展过程中表现出来的差异性特征。这就是说，思维品质是针对不同的人的思维特点而被区分出来的。比如，面对同一道数学题，有的学生想了很久才想到思路，有的学生很快就想到了思路；有的学生按部就班地解答，有的学生思考有没有简便的解法；有的学生解答完就算了事，有的学生解答完后验算自己对不对，甚至有的学生解答后思考还有没有别的思路。这些不同的解题表现，反映了学生不一样的思维品质。
2.思维品质的组成因素相对较为明确
关于思维品质的组成因素，虽有一些不同的观点，但总体上是比较明确的。在数学的教与学中，一般认为思维品质主要包括思维的深刻性、灵活性、敏捷性、独创性、批判性等，它们之间是相互联系、密不可分的。比如，深刻性是一切思维品质的基础，批判性是在深刻性基础上发展起来的品质。只有深刻的认识、周密的思考，才能全面而准确地做出判断。
思维的深刻性集中表现在善于深入地思考问题，抓住事物的规律和本质，预见事物的发展进程。思维的深刻性又叫作抽象逻辑性。所以，抽象思维、逻辑思维都是思维深刻性的体现。
思维的灵活性是指思维活动的智力灵活程度，包括思维起点灵活、思维过程灵活、思维的结果往往是多种合理而灵活的结论等方面。发散性思维是思维灵活性的体现。
思维的独创性是指独立思考，创造出有社会（或个人）价值的具有新颖性成分的智力品质，是人类思维的高级形态。创造性思维是思维独创性的体现。
思维的批判性是指思维活动中善于严格地估计思维材料和精细地检查思维过程的智力品质，是思维过程中自我意识作用的结果。批判性思维是思维批判性的体现。
思维的敏捷性是指思维过程的速度或迅速程度。值得一提的是，思维的深刻性、灵活性、独创性、批判性都有一个思维过程，而思维的敏捷性本身没有思维过程。它的作用是帮助我们在处理问题和解决问题的过程中，能够适应迫切的情况来积极地思维，进行周密的考虑，正确地判断和迅速地得出结论。
3.思维品质更能面向全体学生
虽然高阶思维的概念尚不明确，但其思维活动的指向是较为明确的——高阶。因此，一般认为高阶思维是一种较为复杂的思维形式。它是发生在较高认知水平层次上的一种心智活动或认知能力。比如，根据布鲁姆的认知目标分类，一般将记忆、理解、应用称为低阶思维，将分析、评价、创造称为高阶思维。基于这样的理解，关于思维品质和高阶思维有几个问题需要进一步明确。
第一，高阶思维是不断进阶发展形成的。虽然记忆、理解、应用被称为低阶思维，但显然这样的低阶思维是不可或缺的。比如，记忆处于布鲁姆认知目标分类的最底层，这恰恰说明记忆是一切认知的开始。没有记忆，后续的一切思维就很难得以发生。正如中国数学双基教学的理论特征所指出的那样——记忆通向理解，即有了记忆才能发生后续的理解，没有低阶思维就没有高阶思维。由此可知，数学教学中，学生从低阶思维发展到高阶思维，在人数上会呈现一定的“金字塔”形，即越往高阶思维发展相对应的人数就会越少。若以得到较多人认可的布鲁姆认知目标分类来对低阶思维和高阶思维进行区分，就可以用下图“金字塔”（见图2）的来表示上述理解。
高阶思维的价值就在于它不是所有人都能拥有的，此为其珍贵之处，否则也就不可谓“高阶”了。
第二，思维品质的培养无须进阶。品质反映的是一个人的特征，是一种心性。比如，一个人品质的好坏与其身份、职业、智力无关，与其思想、德行等有关，思维品质亦是如此。《思维发展心理学》一书中谈到，为了锻炼学生思维的灵活性，实验者采取的方法是让学生对给出的数学信息进行提问，比谁提的问题多；为了训练学生思维的敏捷性，实验者采取的方法是对计算提出时间要求，比谁计算的速度快。就是说，锻炼学生思维的灵活性和敏捷性等思维品质，采用具有挑战性的方式自然是好的，但也可以采用并不是很难的问题、并不复杂的任务进行，这也是可以较好地面向全体学生的。数学教学要面向全体学生，这是基本要求，思维锻炼亦是如此。
第三，高阶思维是锻炼思维的方式。基于前文的论述可以明确一点，高阶思维倾向于认知能力，思维品质倾向于个性特点。这一点在布鲁姆的认知目标分类中体现得尤为明显。比如记忆，可以理解为思维，也可以理解为学的方式，还可以理解为教的方式。从知识的教学来讲，记忆更倾向于教与学的方式。同理，理解、应用、分析、评价、创造都可以理解为教与学的方式。比如，教学一道数学习题，可以是教师讲解，学生跟着学，也可以是教师让学生自己理解，还可以是教师在学生学的过程中给予指导与评价等。由此不难发现，低阶思维、高阶思维都是锻炼学生思维的方式，只是锻炼的强度不同而已。显然，运用高阶思维进行教学对锻炼学生的思维更有效果。
所以，数学是锻炼人的思维最好的载体。这里的思维更适于指向人的思维品质，即数学是锻炼思维，进而提升人的思维品质的最好载体。因此，本文所讲的锻炼思维，是指提升思维品质。
（三）引发思考才能锻炼思维
思维是“人的认识过程、智力或认知的核心成分”，但也是伴随人的日常行为而自然发生的。比如，一个人在阅读文字的时候，实际上他的思维活动已经发生了；小学生在进行口算的时候，自然会伴随着思维活动。但是，像阅读文字、进行口算而发生的思维活动，还称不上思维锻炼。
那么，怎样的思维活动才能称得上是思维锻炼呢？回答这个问题之前，我们不妨先以锻炼身体来打个比喻。走路是锻炼身体的一种方式，但是正常情况下，人每天都会走路，那是不是说人每天都在锻炼身体呢？当然不是。走路锻炼身体，需要与人每天自然的走路有所不同，如走的速度要刻意快一些，或走的时间要刻意长一些。这亦如上文中提到的，用计算来锻炼人的思维敏捷性，是以“比谁计算的速度快”来进行的，而不是仅仅要求计算。
可见，所谓锻炼，需要有一定的刻意行为。锻炼思维也是如此，需要与一般自然发生的思维有所不同，要有刻意为之的行为。
【案例】
习题教学记：2020年11月3日 周二
出示试题：
9.一个三位数与2相乘的积是316，那么这个三位数与22相乘的积是（ ）。
在出示这道试题后，我与学生一起再次理解试题的意思，并板书如下两个算式。
□□□×2=316 □□□×22=？
师：还记得当时这道题你们是怎么想的吗？
很快，很多学生举手了。我任意请一位学生说出自己的想法。学生的方法在我预料之中，板书如下。
316÷2=158 158×22=3476
师：除了这样的方法，还有不一样的想法吗？
从现场情况来看，上述方法果真是所有学生的第一想法。面对“还有不一样的想法吗？”的问题，没有立刻举手的学生。当然，出现这样的情况也不能怪学生，因为这是一道单元检测的试题。稍等了一会儿，开始有学生举手了，我请一位学生回答。
生1：我是这样想的，因为这个三位数是不变的，2到22乘了11，所以积也要乘以11。
显然，这种方法是这位学生在刚才通过观察、对比、分析得出的，他调用了本单元学习的积的变化规律来进行思考。这样的方法不再是按部就班地解题了，这样的思考，思维才能得到锻炼。这，也是我开始时板书“□□□×2=316”和“□□□×22=？”这两个算式的用意所在。
这位学生讲完，没人举手了。看来，刚才举手的几位学生想到的也是这种方法。为了让更多的学生明白这种方法，我又请一位学生解释一遍，并结合学生的解释进行板书（如下）。
[× 22 = ？][× 2 = 316] [× 11]
至于接下来的316×11这一步，就可以省略了，因为我的目的已经达到，学生已经发现了算式中2和22这两个数的“秘密”。
就在我板书跟进时，可以清晰地听到学生发出这样的感叹：“哇，对哦，还可以这样想！”听到这样的感叹，本想“收手”的我顺口又问了一句：“还有不一样的想法吗？”
这下，学生是真的有点蒙了。说实话，我内心其实已经满足了，提出这个问题无非是为了过渡到下一道试题的分析。不过，我还是花了一点时间让学生充分思考。此时，有没有新的方法已经不重要了，重要的是让学生都思考起来。但是，就是这么稍稍等待，惊喜就来眷顾了。瞧，一位学生举手了。
生2：22，一个2在个位，一个2在十位。未知的这个三位数乘个位的2等于316，那么乘十位的2也等于316，但是因为这个2在十位上，所以其实等于3160。这样，我们只要用316+3160就可以了。
学生的回答如此惊艳！显然，这种方法是这位学生在刚才的等待中，通过自己的观察、对比、分析发现的。不过，我看得出来，此时就这样说一遍，绝大部分学生还是一头雾水，甚至有学生说“你这是凑巧”。但我已经按捺不住心中的喜悦，说道：“非常棒！表扬两次！”
其他学生又是阵阵惊叹，因为表扬两次就意味着可以直接获得一把“铜钥匙”（这是我制订的课堂激励制度）了。
接下来，我通过竖式板书的方式（如下），再次和学生一起理解其中的算理，直观理解为什么只要用316+3160即可。
[316 + 3160] [× 2 2] [3 1 6][3 1 6 ]
……
在上述案例中，学生想到的第一种方法虽经历了思维活动，但这几乎是所有人都能想到的方法，是自然发生的，因此不属于思维锻炼。在这种方法之后，我两次追问“还有不一样的想法吗？”，从获得这道试题的正确答案的角度讲，这两次追问是不需要的。由此可见，这两次追问是我刻意为之的。第一次追问，在经历了一段时间的思考之后，有小部分学生想到了不一样的方法；第二次追问，在经历了一段时间的思考之后，只有一位学生想到了不一样的方法。
需要说明的是，在我刻意而为的两次追问中，学生经历了一段时间的思考是主要的，最终到底有多少人想到了不一样的方法是次要的，因为“进行比较周到、深刻的思维活动”，才是锻炼思维的过程。当然，在锻炼思维的过程中又能获得正确的答案，那就两全其美了。
由此可见，在小学数学教学中锻炼学生思维，关键是让他们经历思考的过程。当然，这里强调要让学生的思考真正发生，如此才能有效锻炼思维。
（四）习题教学在锻炼思维上具有优势
锻炼学生的思维应贯穿整个小学数学教学的始终。相对而言，习题教学比例题教学在锻炼学生的思维上更具优势，主要体现在以下三个方面。
1.有更加充足的时间
以人民教育出版社2013年出版的小学数学教科书为例，小学六年12册教材一共编排了约550道例题，平均每个学期教学约46道例题，约需要35节课（有一些课时要教学2～3道例题）。这35节课因为要教学例题，所以称为新授课。按一个学期平均约100天以及1天1节数学课来计算，一个学期就有约100节数学课。一个学期100节数学课，去掉35节新授课，还剩下65节课。这65节课多是练习课，也有一定量的考试课和考试后的试卷分析课，当然还有一定量的复习课（现实中复习课多是“以练带理”型）。不难发现，这65节课本质上都可以理解为是与习题教学相关的练习课。如此的话，小学数学一个学期的新授课与练习课的课时比大约是2∶3。
小学数学一节课40分钟。一般情况下，新授课中，大约有20分钟用于例题教学（新授），还有20分钟用于习题教学（练习）。很多小学数学教师坦言，一节新授课要尽可能确保有15分钟左右的练习时间，这样心里才会比较踏实。就以一节新授课平均有15分钟的练习时间计算，例题教学与习题教学的时间比约为3∶2。
这样，一个学期，新授课与练习课的课时比约是2∶3；一节新授课，例题教学与习题教学的时间比约是3∶2。因为练习课的本质就是习题教学，所以将一个学期中新授课与练习课的课时比以及一节新授课中例题教学与习题教学的时间比进行换算，那么一个学期中例题教学与习题教学的时间比就约为1∶3。一个学期如此，不难想象，整个小学阶段的数学教学亦是如此。
由此可见，在小学数学教学中，用1份的时间教学例题，就要配以3份的时间教学习题（这尚不包括晨间、午间以及课后服务时段的习题教学）。从这个时间比进行分析，就可以清楚地看到在锻炼学生的思维上，习题教学相比例题教学而言有更加充足的时间。
2.有更加明确的目标
2000年开始的新一轮课程改革，提出了三维目标，即知识与技能、过程与方法、情感态度与价值观；三维目标贯穿课堂教学的全过程，相互融为一体。三维目标中，知识与技能是基础目标，过程与方法、情感态度与价值观这两个目标都是在基础目标实现的过程中达成的。换言之，如果知识与技能目标没有实现，那么过程与方法、情感态度与价值观这两个目标也就无从谈起。
比如，“长方形的面积计算”这节课，旨在通过例题教学，让学生初步理解并掌握长方形的面积计算公式。想象一下，如果例题教学之后，学生还是不知道长方形的面积怎么算，那么其中所谓的过程与方法、情感态度与价值观这两个目标还有什么意义？
除此之外，我们也经常能听到这样一种说法：知识只是一个载体，发展思维才是最重要的。这种说法自然是正确的，但我们要正确理解其中所说的“知识只是一个载体”的含义。这句话有两层含义：第一层，锻炼思维不能凭空而为，必须有一个载体，知识就是最好的载体；第二层，将知识作为发展思维的载体，前提是知识目标是顺利达成的，这样知识成为发展思维的载体才有意义。
还是以“长方形的面积计算”这一课的例题教学为例，引导学生通过观察、想象、操作、交流、推理等学习活动，理解“长×宽”的意义，知道长方形的面积可以用“长×宽”来计算，本课的知识目标就已经初步达成了。在达成这个目标的过程中，学生运用了多种学习方法，经历了丰富的学习活动，如观察、想象、操作、交流、推理等，这就是锻炼思维，进而发展思维品质的过程。这个时候就能发现，学习长方形的面积计算成为发展学生思维的一个载体。
所以，在例题教学中，不管是三维目标还是“知识只是一个载体”，知识与技能这个目标必须达成才行。即，小学数学中的例题教学承载着一个必须实现的基础目标：引导学生学习一个新的数学知识或技能。但是，习题教学有些时候就不一样了。
在习题教学中，有一部分习题的目标是帮助学生巩固所学的知识与技能（参见本系列文章的第一篇），但还有一些习题，其目标则是更为明确地指向锻炼学生的思维，比如“＜（ ）＜（ ）”等。这正如邱学华与张良朋在《2010年小学数学教育热点问题探讨》一文中所言：“一个人的思维能力不能凭空而来，是伴随着学生学习基础知识和解题过程逐步获得的，没有‘练的过程，缺少了学生的切身体验和自我感悟，思维能力和创造能力就无从谈起。”
由此可见，在锻炼学生的思维上，习题教学相比例题教学而言有更加明确的目标。
3.有更加纯粹的形式
数学具有高度的抽象性、严密的逻辑性以及广泛的应用性，所以常常令人觉得数学晦涩难懂。但也因为如此，让数学源于现实世界、高于现实世界，让数学具有自身独特的美，让数学在锻炼思维上具有无与伦比的魅力。
小学数学教科书中的例题，因为承载着具体的数学知识与技能，所以内容编排上贴近现实世界，贴近学生的实际生活，表述浅显易懂。但是，一旦到了习题，数学就开始高于现实世界，到达相对纯粹的数学世界。
第一，习题的内容是纯数学的。
比如，图3中的这道习题，只提供大正方形和小正方形的边长，要求计算图中阴影部分的面积。这样的习题很数学、很纯粹，指向思维锻炼。
图3 多边形的面积习题
第二，习题的情境是数学世界的。
比如，学习“长方形的面积计算”之后，就会出现一道经典的“围篱笆”习题：“王大爷想要用20米的篱笆围一块长方形或正方形的菜地，怎样围面积最大？”（注：三年级刚学习长方形和正方形时，学生还不知道长方形是特殊的正方形）
这道习题的思维锻炼价值无须赘述。从情境来看，这道习题似乎是在描述一个现实世界中的问题，仔细思考就会发现，这其实更是一个数学世界中的问题。因为在现实世界中，一般是先有菜地，再去给这块已经确定形状的菜地围篱笆，而这道习题是先有20米的篱笆，再根据篱笆的长度来确定面积最大的菜地。这样的问题显然不是因为生活的需要，而是因为数学的需要。所以，这道习题就是纯粹的数学世界中的问题。
由此可见，在锻炼学生的思维上，习题教学相比例题教学而言有更加纯粹的形式。
时间、目标、形式这三个方面都在显示，就锻炼学生的思维而言，习题教学比例题教学更有优势。
（未完，待续）
［ 参 考 文 献 ］
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[9] 邱学华，张良朋.2010年小学数学教育热点问题探讨[J].小学教学（数学版），2011（3）：6-8.
（责编 杜 华）
