九年级数学专题复习课的构建及教学策略

作者简介：廖镠，1974年生，广西横州人，本科，高级教师，主要研究方向为初中数学教学及学生行为习惯养成。

摘 要：九年级数学综合复习课的学习效果直接影响学生的数学中考备考。教师应以整体性和系统性思维为核心，将初中数学教材中零散的知识点重新整合成一个个知识模块，以技能的训练、概念知识的关联、数学思想方法的提炼等分别构建尺规作图专题复习课、平行四边形专题复习课和二次函数专题复习课，从教学实践出发发挥学生的学习主体作用，落实专题复习的专项训练，从而提高九年级数学专题复习的教学质量。

关键词：初中数学；专题复习；尺规作图；平行四边形；二次函数

中图分类号：G63 文献标识码：A 文章编号：0450-9889（2024）10-0114-04

复习是学生再认识和深化理解已学知识，对知识进行归纳和总结，形成知识体系的过程。复习课用于指导学生复习，帮助学生查漏补缺，巩固基础知识和基本技能，使学生所学知识系统化、结构化，进而提高学生的学业水平。目前初中九年级数学综合复习教学存在一些问题，影响了学生的数学中考备考。如：部分教师在复习课中仍然坚持按照教材所规定的章节进行按部就班、形式单一的练习，不利于学生构建知识框架；部分教师在复习阶段，没有帮助学生构建数学模型发展学生数学认知，而是让学生盲目刷题，导致学生复习效率低下。学生在有限的备考时间内无法将数学知识连成一个有机的整体，不能内化和掌握技能、方法，综合运用知识分析问题和解决问题的能力便得不到提高［1］。如何遵循正确的途径和方法进行高效的复习课教学呢？笔者结合多年初中数学教学实践，提出了专题复习教学策略。

专题复习教学是一种以特定主题为基础，教师将相关知识有机融合，遵循巩固性、综合性、层次性、迁移性原则组织学生进行高效复习的一种复习课教学方法，有利于全面提高学生分析问题、解决问题的能力。在初中数学九年级综合复习中，专题复习体现了教师的知识整合能力和综合教学能力。教师以整体性和系统性思维为核心，将初中数学教材中零散的知识点重新整合成一个知识模块，构建知识网络，梳理知识之间的关系，归纳出相关的数学模型，与学生探讨解决问题的方法技能，促使学生更好地总结、提炼数学思想方法，构建完整的数学知识体系。专题复习的切口较小，可以避免学生出现思维跳跃的状况，降低复习的难度，提高复习的效率［2］。

一、以技能的训练构建尺规作图专题复习课

在九年级数学综合复习中，教师可以根据学生的实际情况对章节知识进行整理，制作成数学技能训练专题课，让学生对数学技能进行系统的复习。教师引导学生积极参与技能训练，分情况、分种类对技能进行强化，有利于学生深入学习知识和运用技能解决问题。尺规作图是中考必考内容之一，每一项作图技能学生都必须熟练掌握，因此教师应把尺规作图作为重点技能进行专题训练。

（一）尺规作图专题复习应注意的教学环节

在初中数学尺规作图专题复习中，学生需要通过掌握尺规作图的基础知识和基本工具、了解不同作图命题和相关的几何概念、熟悉常见的作图构造和技巧等，不断提高自己的答题能力。初中阶段的尺规作图主要有过一个点作已知直线的垂线、作已知线段的垂直平分线、截取线段等于已知线段、作一个角等于已知角、作一个角的角平分线。教师可以依照“知识导入—原理解释—基本规则—练习演示—错误分析—拓展应用”教学环节（如表1），引导学生复习尺规作图相关知识。学生通过实践练习，可逐渐提高在尺规作图方面的解题技巧与学业水平。

表1 尺规作图专题复习应注意的教学环节

[教学环节 复习内容 知识导入 引导学生回顾相关的几何基础知识，如线段垂直平分线的性质、角平分线的性质等，提出问题，使学生产生用尺规作图的需要，从而了解尺规作图的重要性 原理解释 向学生简要介绍尺规作图的原理和基本概念，如尺子、圆规的用途及特点等。解释清楚尺规作图是基于已知条件利用尺规进行构图的方法 基本规则 详细介绍尺规作图的基本规则和步骤，如利用尺规作等分线段、平行线、垂直线、角平分线等操作，强调每一步的操作要点和技巧 练习演示 给学生提供一些简单的练习题，演示具体的尺规作图过程。选择一些具有代表性的例题，让学生跟随教师一起完成作图，并解释每一步的操作原因和思路 错误分析 引导学生分析常见的尺规作图错误原因，鼓励学生发现问题并提出改进方法，培养学生的观察能力和创新思维 拓展应用 给学生提供一些有挑战性的综合性问题，让学生尝试运用尺规作图解决，培养学生的问题分析和解决能力 ]

（二）复习中注意将作图原理与作图技巧相结合

尺规作图专题复习的教学目标是提高学生的思维能力和解题技巧，帮助学生高效完成作图任务。学生在解答作图题时，要清晰地表达出每个步骤的逻辑推理和依据，以确保解答的科学性、严密性和准确性。教师要利用初中数学学业水平考试试题中的作图题对学生进行巩固训练，让学生把五种基本作图原理牢记于心，掌握常见的作图技巧。

例如，作已知角的角平分线、作两条已知线段的等分线，是解决一些较为复杂的作图问题的基础。教师可以设计尺规作图训练题（如图1），通过一图专训的专题设计方法，让学生体会到五种基本作图原理与技巧在实战中的应用。

[例题：已知Rt△ABC，∠C=90°，请同学们运用尺规作出∠ABC的角平分线，交AC于点D。

]

图1 尺规作图训练题

教师结合题目引导学生回顾作角平分线的知识，并演示具体的尺规作图过程：首先以点B为圆心，以a为半径画弧，分别交AB、BC边于点G、H；其次分别以点G、H为圆心，以b为半径画弧，两弧在∠ABC内相交于点P，最后连接BP并延长交AC边于点D，线段BD即是所求∠ABC的角平分线。画角的平分线并不复杂，但是理解作图原理，明白其中半径的限定条件，却是学生容易忽视的知识内容。因此，教师结合画图操作提出问题：“画法中的半径a、b的值有无限制？”学生在教师的问题驱动下尝试几种画法，最后总结得出半径a>0，半径b>[12]GH的结论。教师还可以利用一图多问的不同设问形式，如作AC边的垂直平分线、作AB边的中线、作AB边上的高、过点C作直线CF∥AB等，帮助学生掌握尺规作图的基本方法和技巧。

教师在尺规作图解答问题的演示过程中，应该清晰地演示每一步的操作，并引导学生思考和讨论；根据学生的实际水平和能力，将尺规作图与其他数学知识相联系，如与平面几何、三角函数等内容进行关联，帮助学生深入理解基本作图原理和运用尺规作图解决数学问题的方法，培养学生的几何思维。

二、以概念知识的关联构建平行四边形专题复习课

初中数学复习课的教学重点在于指引学生主动回顾、整理知识，梳理知识脉络，将零散的知识点有机地连接起来，从而实现对所学知识的融会贯通［3］。数学中考一般会结合平移、折叠、轴对称等综合性问题对平行四边形的概念、性质和判定方法进行考查。在平行四边形专题复习课中，教师应该以概念知识、图形的变化等设问，让学生思考、讨论和解答，培养学生的问题分析能力和问题解决能力。同时教师还应提供一些拓展性的题目，激发学生的学习兴趣和探究欲望，培养学生的创新思维和综合应用能力，提高数学素养。

（一）运用概念图进行平行四边形概念知识的复习

平行四边形包含了矩形、正方形和菱形，每一种图形至少有两种判定方法。在解题过程中，学生需要通过一定的方法证明图形是平行四边形或是哪一种特殊的平行四边形。学生会出现审题困难和概念知识混淆的状况，难以通过概念、性质和判定方法进行证明。在平行四边形专题复习课中，教师可引导学生回顾平行四边形的知识点，通过绘制概念图展示图形的差异性（如图2），在概念图中注明判定方法，帮助学生理解一般平行四边形与特殊平行四边形的关系。

概念图是一种以节点为代表、以连线为表达方式的图形展示方法，用以呈现概念之间的关系。一般平行四边形与特殊平行四边形概念图不仅能以清晰明了的方式呈现各类图形之间的相互关系，而且能清晰地呈现各类图形的判定方法。

图2 一般平行四边形与特殊平行四边形概念图

（二）通过题目条件的变化进行变式训练

教师在对平行四边形题目进行讲解时，可以对一个图形加以剖解，让学生抓住图形中的概念知识抽象出来形成模型，通过题目条件的变化进行变式训练，加深学生对平行四边形判定方法的理解，培养学生对知识的迁移运用能力。当学生遇到同类型题目时，就会有正确的思考方向和解题方法。

综合性复习需要学生具备较高的综合知识运用能力，教师在专题复习教学中应注重变式训练，引导学生独立思考和解决问题。针对平行四边形的判定例题（如图3），教师先让学生通过判定方法推导出四边形EGFH是平行四边形。接着，教师示范给题目添加条件，如添加了“EF⊥GH”这个条件，使得四边形EGFH转变为对角线互相垂直的菱形。

[例题：在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，过点O画出直线EF、GH分别与平行四边形的边相交，连接EG、GF、FH、HE如图所示。请问四边形EGFH是什么形状？

]

图3 平行四边形的判定例题

师：除此之外，同学们可以添加其他什么条件，推导或者通过绘制精确的图形来得出相应的结论？

生1：添加“AC=BD”一个条件，平行四边形ABCD变为矩形，四边形EGFH是平行四边形（如图4）。

生2：添加“AC=BD，EF⊥GH”两个条件，平行四边形ABCD变为矩形，四边形EGFH是菱形（如图5）。

生3：添加“AC=BD，EF⊥GH，AC⊥BD”三个条件，平行四边形ABCD变为正方形，四边形EGFH是正方形（如图6）。

图4         图5        图6

教师将图形模型条件的变化与概念知识进行串联，使学生对平行四边形概念知识有一个清晰的认识，明确各个知识点之间的逻辑关系和内在联系，通过变式训练区别每个图形模型中的不同点，有助于学生完善平行四边形的知识框架，在解决问题时能够游刃有余，从而有效提高了复习效果。

三、以数形结合思想构建二次函数专题复习课

我国著名数学家华罗庚先生说：数无形时少直观，形无数时难入微。教师在初中数学九年级综合复习教学中要做好数与形关系的揭示与转化，有目的、有计划地进行数形结合教学，使学生逐步形成数形结合思想，并使之成为解决数学问题的工具。二次函数在数学中考中占的分值较大，但由于其综合性强，考生在二次函数解题过程中正确率不高。数形结合思想可以使一些抽象的、复杂的数学问题形象化、简单化，有助于学生把握数学问题的本质，从而解决问题。在二次函数专题复习课中，教师应注重解题方法的提炼，强化学生的数形结合思想，引导学生通过把数量关系问题转化为图形性质问题或把图形性质问题转化为数量关系问题，感悟数形结合思想在二次函数解题中的重要作用，从而提高解题能力。

（一）数形结合帮助学生理解二次函数图象及其性质

数形结合是根据数学问题的题设和结论之间的内在联系，既分析其数量关系，又揭示其几何意义，使数量关系和几何图形巧妙地结合起来，并充分利用这种结合探求解决问题的思想方法。学生只有在对二次函数图象及其性质充分理解的前提下，才能根据函数表达式或图象来分析数学问题，实现数与形的结合。教师在二次函数专题复习教学中，应注重训练学生将二次函数的文字语言、图象语言和符号语言进行相互转化，把“数”对应的“形”找出来，加强学生对二次函数图象及其性质的理解。

首先，教师让学生从最简单的二次函数y=ax2入手，逐步过渡到y=ax2+k、y=a（x-h）2、y=a（x-h）2+k，通过列表格观察数据的特点，作图把函数表达式的特征在图象中呈现出来，观察常数a、h、k与图象的对应关系，完成由数据转化为图形的过程。其次，教师引导学生观察二次函数y=ax2的图象，让学生通过图象的平移变换，认识y=a（x-h）2+k型二次函数的图象特征，体会常数a、h、k在图象中的作用，从而掌握二次函数的开口方向、顶点坐标、对称轴、y的最大值或最小值等性质。学生在理解y=a（x-h）2+k型二次函数图象特征的基础上，通过代数式的变换，得出y=ax2+bx+c型二次函数的性质，完成由图形转化为文字的过程。经历了以上复习过程以后，学生便可以根据任意一个二次函数的表达式，在头脑中呈现出该函数的大致图象；还可以根据二次函数图象的特征，确定表达式中常数的取值情况。

（二）找准解题突破口，搭建数与形之间的桥梁

将数形结合思想用于理解和解决二次函数图象及其性质的问题，学生还必须根据实际条件找准解题突破口，搭建数与形之间的桥梁，实现数与形的有效结合。二次函数与一元二次方程和一元二次不等式有着密切的联系，如何理解三者之间的关系，是学生学习的难点之一，借助数形结合直观反映三者之间的联系，有利于提高学生的综合分析能力和灵活解决问题的能力。

初中数学学习主要是以形辅数，教师可以选取二次函数典型例题（如图7）进行分析讲解，突出数形结合思想的指导作用。教师从图象入手，让学生理解函数图象与性质之间的联系，并在此基础上通过问题引导，帮助学生厘清二次函数与一元二次方程、一元二次不等式三者的关系。学生根据题目所提供的图象及已知条件提取准确的信息解决二次函数相关问题，并依据二次函数图象的几何含义运用数形结合方法解答问题。

[例题：已知二次函数y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的图象如图所示。

（1）当x取什么值时，函数值

y>0？

（2）分别求出方程x2+bx+c=

0，ax2+bx+c=4，ax2+bx+c=5的解，

根据上述解的情况，若方程ax2+

bx+c=k有解，试求k的取值范围。

（3）当x取什么值时，函数值

0≤y≤3？ ]

图7 二次函数典型例题

教师通过提问，让学生从数和形两个方面回忆二次函数图象及其性质。

师：不进行计算，同学们直接从函数图象可以得到哪些信息？请从数和形两个方面去归纳。

生1：函数图象是一条抛物线，开口向下，与x轴有两个交点，与y轴有一个交点。当x<1时，y随x的增大而增大；当x>1时，y随x的增大而减小。

生2：函数图象的对称轴是x=1，与x轴的交点分别是（-1，0），（3，0），与y轴的交点是（0，3）。当x<-1或x>3时，y<0；当-10。

对于第（1）问，可能会有部分学生通过解一元二次不等式ax2+bx+c>0求出x的取值范围，由于一元二次不等式学生可能不太会解，会得出一些错解。此时，教师引导学生观察二次函数图象，发现不等式ax2+bx+c>0的解集，就是抛物线位于x轴上方部分对应自变量x的取值范围，初步学会运用数形结合思想进行解题。第（2）问的设计，是让学生加深对二次函数与一元二次方程的认识。同第（1）问一样，学生可以有观察函数图象求解和用根的判别式求解两种方法，学生通过数（方程的根）与形（二次函数图象与x轴的交点横坐标）的对应，可以直观得出结论：方程ax2+bx+c=0的根就是抛物线y=ax2+bx+c与x轴交点的横坐标。对照图形，二次函数与一元二次方程的关系便直观显现出来，学生进一步掌握运用数形结合的思想去解决问题。第（3）问如果学生直接用不等式来解答的话，是比较复杂且不容易得到正确答案，学生可以通过观察二次函数图象得到变量的范围，并注意结果的完整性，从而强化了数形结合思想。

正确运用数形结合方法可以使二次函数问题简单化、具象化，使复杂问题得以简单、快速解决，有助于学生加深对二次函数的理解。可见数形结合在数学研究和解决问题中起着非常重要的作用。数形结合是将知识转化为能力的桥梁，教师在九年级数学专题复习教学中，应借助数形结合方法优化学生的数学认知结构，帮助学生构建有效的知识网络，使学生掌握解题的技巧，发展数学思维。

总而言之，九年级数学专题复习课教学的目标是通过单位时间的复习，使学生对所学数学知识有一个系统化的整合和巩固，从而提高分析问题和解决问题的能力。教师要一改往日数学复习按章节走流程的复习状况，以专项练习为载体，以数学思想方法的提炼为手段，运用科学合理的教学策略帮助学生掌握相关知识，达到整理有序、复习有效，复习一块、掌握一类的目的，从而有效提高专题复习的效率。

参考文献

［1］顾彩芳.基于“生本课堂”的初中数学复习课活动组织研究［J］.新智慧，2022（22）：13-15.

［2］易美容.初中数学线上微专题复习与教学的实践与思考［J］.上海教育，2022（增刊2）：96.

［3］张浩杰.初中数学专题复习“1+1”模式［J］.课程教材教学研究（中教研究），2020（增刊4）：10.

（责编 韦榕峰）