运用“尝试问题组”架构高中数学探究课堂

【摘 要】“尝试”就是为了解决探究主题问题而进行猜想、试验、反思、再猜想的一种试探性活动。在高中数学教学中，教师可以从学生的认知体验出发构建“尝试问题组”，即结合学生的思维特点，创设让学生具身体验的问题链，让学生通过猜想教学关联、构建数学模型、验证数学猜想，开展自主探究、合作探究，引导学生深入思考。

【关键词】高中数学；尝试问题组；数学探究活动；圆的切线与切点弦

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）19-0049-04

【作者简介】杨静，江苏省东海高级中学（江苏东海，222399）教师，一级教师，获江苏省“教海探航”征文竞赛“杰出水手奖”。

《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》（以下简称“新课标”）提出，“数学探究活动是围绕某个具体的数学问题，开展自主探究、合作探究并最终解决问题的过程……是运用数学知识解决数学问题的一类综合实践活动。”教学中，教师可以围绕探究主题，进行有效的问题设置，将探究主题化整为零，以递进式问题链的形式，引导学生层层深入地进行思考探究，让学生参与到数学知识的发生发展过程中，体验类比、归纳、演绎等数学研究方法，深化对数学知识的理解。

一、尝试问题组：探究性活动的内驱力

高中数学课堂应以学生认知体验为起点，丰富学生的思维体验，保障学生思维能力的发展，这样才能深化学生学习的内驱力。

（一）尝试问题组：基于认知体验的问题设置

“尝”即分辨滋味，旨在检验探究主题的深度；“试”即试验猜想，旨在将独立思考或交流合作产生的命题付诸实践。“尝试”就是为了解决探究主题问题而进行的一系列猜想、试验、反思、再猜想。高中数学探究活动中“尝试问题组”的设置，即从“尝试”的角度出发，结合学生的思维特点，创设让学生具身体验的问题链，让学生通过实验操作、猜想数学关联、构建数学模型、验证数学猜想，在数学探究活动中通过“尝试”进行思考、反刍，从而培养学生思维的广度和深度。（见图1）

[发现问题] [实验操作] [猜想结论] [分析问题] [解决问题] [归纳验证] [（图1）]

（二）尝试问题组：数学探究活动的应然选择

数学探究活动是基于培养学生的创新意识开展的综合实践活动。数学探究活动作为一种小型的研究性思维活动，既能培养学生发现和提出有意义的数学问题的能力，又能使学生在探索和表述的论证过程中提高表达和交流的能力，积累数学活动经验，发展数学抽象、逻辑推理、直观想象等数学学科核心素养，养成独立思考和合作交流等良好习惯。《问题与探究》为苏教版高中数学教材的每章章末栏目之一，是相应章节内容的一个延伸，内容主要围绕一个探究主题，分为“问题”和“探究”两个方面，让学生结合所学知识，探究解决问题的方案与路径，为拓展学生思维、培养学生的创新意识和应用意识提供了载体，是开展数学探究活动的良好素材。

“尝试问题组”旨在引导学生发现和提出有意义的数学命题，让学生通过对问题组的独立思考和合作交流，激发自我完善、自我提高的动机，培养问题解决过程中的相互启发、相互促进的合作意识；让学生经历完整的探究过程，增强不同层次、不同水平的学生在探究活动中的认知获得感，从而培养学生的探索精神、创新精神和实践能力，让学生更深入地思考、整合知识与经验，将批判性思维内化成自身的经验体系。

二、课堂实践：探究性活动的收敛架构

“圆的切线与切点弦”是苏教版普通高中数学教科书选择性必修第一册第二章《圆与方程》的章末探究课，是《圆与方程》章节知识的延伸与拓展，也是后续圆锥曲线相关的内容学习的起点和基础。本节课旨在通过研究几何图形的性质和位置关系，让学生体会数形结合、转化化归等多种数学思想，培养学生的直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。下面笔者以“圆的切线与切点弦”教学为例，具体阐释在高中数学课堂教学中，如何以“尝试问题组”引领学生开展数学探究活动。

（一）目标引领：研究主题从“学情适合”出发

教学目标是数学探究课堂的出发点和归属点，教师首先要从学情出发，设置适合学生学情的课堂目标。整体探究目标要明确，学生围绕整体目标进行尝试，教师围绕学生解决问题中产生的动态问题将课堂目标完善、落实。

整体目标设置要从学情出发，要符合大部分学生的认知水平，让每一位学生都能参与到探究活动中，目标内容要具体明确、导向性强。同时保障主体目标的连贯性、延展性、可持续性，让学生在尝试问题组的引领下，养成良好的思考习惯，提升学习能力。

在学完《圆与方程》章节之后，学生已经能从代数角度研究点、直线、圆之间的关系，初步具备研究解析几何的直接经验，具有一定的图形识别、问题发现及探究推理能力。圆的切线与切点弦中，点、线、圆的关系复杂，想要厘清并掌握其关系对数形结合的思想要求较高，需要学生具有良好的直观想象、逻辑推理能力。

基于上述学情分析，在“圆的切线与切点弦”的教学中，笔者制定了以下整体目标：（1）掌握求解“过圆上一点的切线方程”的方法；（2）通过操作实验，提出合理猜想，体会问题探究的方法；（3）体验探究方法与研究方法的类比，渗透变换主元与方程（组）思想，培养观察、归纳、反思的能力。

除此之外，学生还可以根据自身的学习特点和认知水平，有选择地加深或拓宽某一目标，让目标更具适用性。教师还应针对每个学生的研究效率及目标完成度给出总体评价，对于高效的学生给予参照式评价从而发挥榜样作用，对于低效的学生给予指向性评价进行引导，以促进学生更进一步地思考，培养学生的探索精神，引导学生自主发展。

（二）问题引领：探究活动从“操作尝试”启程

数学探究活动是主体与客体交互生长的复杂过程，需要教师和学生在思维、意志、动机上的相互参与、相互配合，教学时，教师要以学生为主体，从学生的学习需求出发构建探究问题，这个过程还需要教师的整体调控。结合探究主题，师生首先师生确定研究方式：提出问题—操作实验—交流讨论—验证猜想。

1.尝试问题直观的递进设置

在问题设置上，教师首先要结合学生的认知特点，让学生在探究抽象的数学问题时感受数学的直观性，激发学生的学习兴趣与探索欲，为学生进一步的研究指明方向。因此，在教学“圆的切线与切线弦”时，笔者首先设置了如下引例。

如图2，圆O：x2+y2=9，分别根据下列条件，判断P0与圆O的关系：

（1）点P0（2，[5]）；

（2）点P0（4，4）；

（3）点P0（1，1）。

【设计意图】上述教学从引例出发，让学生明确本节课是研究点、线、圆位置关系的问题探究课。通过特殊点的设置，引导学生学会通过代数方法判断点与圆的位置关系，并了解与点有关的切线问题的着力点，从而确定本节课的研究路径：点在圆上—点在圆外—点在圆内。

2.尝试问题统一的结构设置

高中数学教学应由浅入深，从学生的认知体验出发，逐步引导学生归纳探究问题的研究路径与研究方案。因此，尝试问题采用统一的结构设置，从路径尝试、方案尝试、操作尝试、猜想尝试、验证尝试五个方向引导学生探讨解决问题的路径与方案，从而提出合理猜想并加以证明。

问题1：当点P0（x0，y0）在圆O：x2 + y2 = r2上时，圆O过点P0的切线方程是怎样的？你能否证明你的结论？

问题2：如图3，当点P0（x0，y0）在圆O：x2 + y2= r2外时，方程x0x + y0y = r2表示怎样的直线？

尝试活动：（1）直线l：x0x+y0y=r2与圆O有怎样的位置关系？

（2）通过操作实验，你可以提出怎样的猜想，怎样证明你的结论？

（3）如果由点P0作圆O的两条切线，设切点分别为A（x1，y1），B（x2，y2），你能根据问题1的结论证明你的猜想吗？

本环节的教学中，由问题1结论探寻对于点在圆外和点在圆内时，直线l的几何意义。教师基于学生认知体验的“最近发展区”，引导学生开展自主探究，通过尝试活动引导学生猜想直线为切点弦AB所在直线，并给出代数证明。换个角度，从点P0作切线，应用问题1的结论进行证明，实现知识的迁移与应用。

问题3：如图4，当点P（x0，y0）在圆O：x2+y2=r2内（异于O）时，你能发现直线x0x+y0y=r2与圆有怎样的位置关系？

尝试活动：（1）直线l：x0x+y0y=r2与圆O有怎样的位置关系？

（2）你能作出与点有联系的切线吗？

（3）根据你的操作，可以得到怎样的猜想？

通过操作实验的设置，学生尝试探究的方法，激发学生的探究兴趣，从而体会发现问题、提出猜想的认知过程。问题3是一个开放性的研究问题，学生需要根据自己的猜想进行多次操作试验，让思维经历对峙、分化、共鸣的过程，最后得到合理猜想。主要有两个角度：（1）从点P0出发任意作一条弦，过弦的两端作圆的切线，切线的交点在直线上；（2）在直线l上任取一点，过点作圆的切线，切线的交点为点P0。

3.尝试问题开放的思维延展

在数学探究活动中，基于学生的个体差异，教师应留给学生充分交流探讨的空间，让学生围绕一节课的探究主题，以其所掌握情况为支点，通过不断的思考、尝试、反思，形成自己的思维链。教师在探究过程中只有关注学生的思维过程，确定学生的认知水平，才能充分地掌握学生的学习动态，引导学生总结反思，从而实现探究方法和证明方法的正迁移。

高中数学课堂教学要从学生的认知水平出发，让学生用已有经验尝试解决“新生”问题，这样才能激发学生的求知欲，进而培养学生的学习能力、创新能力。问题探究课堂可以从精心设计适合学情的“尝试问题组”出发，构建适合学生思维发展的课堂空间，营造以学生为主体的思维学习场，增强学生数学抽象能力生成的内驱力，让学生开放的思维收敛在正向的维度，让高中数学教学更具实效性。

【参考文献】

［1］中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）［S］.北京：人民教育出版社，2020：18.

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［3］陈佰林.“减负增效”下数学学科教学之路［J］.上海教育，2022（Z1）：77-78.

［4］李尚志.核心素养渗透数学课程教学［J］.数学通报，2018，57（1）：1-6，14.