高中数学“幂函数”教学设计

【关键词】高中数学；方法引领；教学设计；幂函数

【中图分类号】G633.6  【文献标志码】A  【文章编号】1005-6009（2024）19-0043-04

【作者简介】杨玲玲，江苏省句容市第三中学（江苏句容，212400）教师，一级教师。

一、教学内容分析

本节课的内容选自苏教版普通高中数学教材必修一第6章第1节，是第5章《函数》内容的延续和深化，也是函数思想方法应用的具体化。学生在初中时已经接触过y = x，y = x2，y = x-1等函数，对这些函数有一定的认知基础和研究经验。教学时，教师可以引导学生梳理已有经验，帮助学生学会从数和形两个角度来研究幂函数的性质。这样的研究方式对后续内容的学习起着引领、指导和组织的作用，能够帮助学生建立研究函数模型的方法范式，从而实现数学知识和方法的自然延拓。

二、教学目标设置

1.了解幂函数的概念，会画出y = x，y = x2，y = x3，y = x-1，y = x[12]等幂函数的图象；

2.了解几个常见的幂函数的性质，会利用它们的单调性比较两个底数不同而指数相同的指数幂值的大小；

3.经历探究幂函数图象与性质的过程，明确研究一类函数模型的基本方法，进一步体会数形结合、特殊与一般等数学思想，培养直观想象、数学抽象、逻辑推理等数学学科核心素养。

三、学情分析

1.学生已有的认知基础

本节课的授课对象是江苏省四星级普通高中高一学生，在知识结构上，他们在初中时已经研究了一次函数、二次函数、反比例函数等初等函数，在高中又学习了函数的概念及简单性质，已经积累了研究函数的初步知识基础。在经验方法上，他们经历了对y = x，y = x2，y = x-1等函数的初步学习，已经拥有了研究函数的基本经验，并具备一定的观察、分析、抽象、概括能力。

2.达成目标所需的认知基础

在探究幂函数性质的过程中，需要学生对数形结合思想有较深刻的认识和理解，有较强的直观想象、逻辑推理能力和良好的独立思考、合作交流等学习习惯。

四、教学过程设计

1.复习回顾，方法引领

【课堂引导语】函数概念的分析，为探索种种运动规律提供有力工具，教给人们如何依据已有的经验去预测未来的事物，从而进一步获得自然界的科学知识，从千姿百态的现象中总结出反映本质的基本规律。——普林希姆

问题1：在以往的学习中，我们学习过函数的哪些基本内容？

在初中，学生学习过一些具体的函数，比如一次函数、二次函数和反比例函数等，y = x，y = x2，y = x-1是其中的特例；在高中，学习过函数的一些基本性质，比如：定义域、值域、奇偶性和单调性等。结合初高中所学，可以得到表1。

问题1.1：表1中函数y = x2的奇偶性可以如何得到？

问题1.2：表1中函数y = x2的单调性可以如何得到？

问题1.3：函数y = x2的奇偶性和单调性之间有什么联系？对我们研究新的函数有什么启发？

上述问题的答案可以通过观察y = x2图象特点得到，即“以图识性”，这是初中研究函数最常用的方法；也可从解析式出发，即“依性作图”，这是学生在进入高中学习后新习得的方法。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称，为“对称取点”作图埋下伏笔，也为学习“研究单调性时只需研究定义域的‘一半”作铺垫。后续学生可以从这两个角度来研究y = x3，y = x[12]，y = x-2这3个具体函数。

【设计意图】上述教学首先通过普林希姆的话，引出本节课的教学任务：在函数学习中，要善于根据已有的学习经验和思想方法，进行适当的迁移，进一步研究未知的知识。然后通过问题串，引导学生回顾函数相关知识并明确研究函数的两种方法，体会函数图象与性质间的对应关系，为研究幂函数作铺垫。

2.归纳特征，构建概念

问题2：这六个函数的解析式有什么共同特征？你能概括出它们的一般形式吗？

【设计意图】从特殊到一般，引导学生直观感受幂函数的结构，并用数学语言抽象出幂函数的定义：一般地，我们把形如y = xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数。

3.合作探究，归纳性质

问题3：你能根据已有的学习经验来研究y = x3，y = x[12]，y = x-2的图象和性质吗？说说你的设想。

【探究活动1】初探函数y = x3，y = x[12]，y = x-2的性质。

函数的定义域决定了函数的“宽度”，值域决定了函数的“高度”，奇偶性反映了函数的对称性，单调性反映了函数的变化趋势。学生通过自主探究、小组讨论，先从解析式入手，能够得到三个函数的定义域、值域、奇偶性，即“依性作图”。

【设计意图】高中数学教学提倡独立思考、自主学习、合作交流等多种学习方式。上述教学放手让学生自主探究：定义域、值域、奇偶性可以依据定义从数的角度判断，而单调性借助图象判断更加直观。经过充分的探究，学生能够建立统一的观点：具有奇偶性的函数，先研究定义域的“一半”，“另一半”由对称性得到。

【探究活动2】画出函数y = x3，y = x[12]的图象。

学生在小组内讨论交流，展示图象，说明画法，并回答以下问题。

问题3.1：你采用什么方法画出它们的图象？取了哪些点？

问题3.2：根据这几个点你是怎么确定它的图象是这样的形状呢？怎么做可以让所画图象趋势更准确一点？

问题3.3：能否少取一些点？理由是？

【师生活动】学生结合取点分析出y = x3在第一象限随自变量增大呈现出“快速增长”趋势，y = x[12]在第一象限随自变量增大呈现出“缓慢增长”趋势。教师用作图软件在同一个坐标系内作出y = x3，y = x[12]的图象，让学生体会变化趋势的不同。

问题3.4：给出函数y = x4，你认为它在［0，+∞）的图象和哪个函数类似？

问题3.5：给出函数y = x[13]，你认为它在［0，+∞）的图象和哪个函数类似？

在这里，教师要及时用作图软件验证，引导学生归纳总结0＜α＜1，α＞1两种情况下的图象特征。

【设计意图】画图能够让学生直观感受图象位置与变化规律。递进式问题串能够帮助学生梳理图象与性质之间的思维路径，感受依性作图和以图识性中蕴含的数形结合思想，获得研究具体函数的新思路，促进实践能力和创新意识的发展。

师：前面我们通过归纳6个函数的解析式的共同特性得到了幂函数的定义，得到了这5个函数的图象（见图1）。如果从形的角度归纳图象的共同特征，又能有哪些收获呢？

问题3.6：如图1，观察这5个函数图象，你能发现它们具有哪些共同的特性？

问题3.7：当指数怎样变化时，幂函数在［0，+∞）会呈现这样的变化趋势呢？

【师生活动】观察几个特殊函数的图象，让学生独立思考、交流讨论，引导学生从特殊点、单调性等方面寻找共同特性，进行归纳并提出一般猜想：一般地，函数y = xα，当α＞0时，函数的图象都过点（0，0）和（1，1）；在第一象限内，函数的图象随x的增大而上升，函数在［0，+∞）上是增函数。教师借助软件归纳验证得出图2。

【设计意图】上述探究过程中，学生合作探究，通过观察、归纳、猜想，形象记忆了函数图象和性质。教师通过问题串的形式，层层递进，由特殊到一般，引领学生总结幂函数随幂指数变化的图象性质变化情况，进而给出一般猜想，并借助作图软件归纳验证。

师：回顾前面的研究过程，对α＜0的幂函数是否也会有类似的共性呢？

【探究活动3】小组合作，设计探究α＜0时幂函数性质的研究思路与方案。

问题3.8：在用描点法画y = x-2的图象之前，你会做哪些准备工作？

问题3.9：观察函数图象，可以得到哪些共性？

【师生活动】选择两个特殊的函数y = x-1，y = x-2画出图象，归纳共性并提出一般猜想：一般地，函数y = xα，当α＜0时，函数的图象都过点（1，1）；在第一象限内，函数的图象随x的增大而下降，函数在（0，+∞）上是减函数。教师借助软件归纳验证。

【设计意图】上述教学让学生先独立思考，然后小组之间交流、讨论、合作设计研究思路和方案，并通过追问评价学生是否理解了依性作图和以图识性的关系，掌握了研究新函数的思路。这个过程中，学生将前面研究的经验类比迁移，再次经历数学探究过程，积累数学探究经验，感受探究一类函数共性的基本方法。

4.自主探究，形成体系

问题4：如图3，五种指数范围下的幂函数在（0，+∞）的图象都在第一象限，你能给出这里“形”背后的“数”的说明吗？

问题4.1：幂函数在其他象限的图象如何得到？

问题4.2：根据第一象限特征，结合奇偶性，幂函数的图象共有多少类？

【设计意图】上述教学旨在引导学生进一步体会数形结合思想的优越性，为以后作图提供一般思路和方法，帮助学生在复杂的情境中把握事物之间的关联，发展学生的理性思维和逻辑推理等数学学科核心素养，并体会幂函数图象之美。

5.探究典例，实践应用

【课堂例题】试比较下列各组数的大小：

（1）1.14，0.894；

（2）2.1-3，2-3，1.8-1。

【设计意图】例题考察幂函数单调性的应用，旨在通过练习让学生进一步加深对幂函数性质的理解，并体会用性质解决实际问题的过程，形成规范化思考问题的品质。

6.总结升华，形成系统

问题5：本节课主要研究了哪些内容？是如何研究的？研究一个新函数的途径和策略是什么？我们还能研究什么？

【设计意图】通过回顾整节课的研究过程，帮助学生建立起研究一类函数的基本思路，体会研究一类函数共性的一般方法，积累数学探究的经验，体会特殊与一般、数形结合、归纳类比、分类讨论等数学思想在解决问题中的作用。从知识、方法、思想等多维度进行反思提炼，既总结收获、积累经验，同时又站在本章起始的视角明晰后续函数学习的基本思路，体现单元引领作用。最后，提出数学史中“幂”的发展，渗透数学文化。

7.分层作业，巩固新知

【感受·理解】P134习题1，2，3，4。

【思考·运用】P134习题5，6，7。

【拓展·探究】证明：幂函数y = x3在区间（-∞，+∞）上是增函数。

【设计意图】作业设计上注重分层，通过“感受·理解”让学生掌握幂函数的概念，巩固对幂函数性质的认识；通过“思考·运用”加深学生对幂函数性质的理解；通过“拓展·探究”提升学生的数学运算和代数论证的能力。