二次函数在高中数学联赛代数问题中的应用

王荣军 陈思洲

函数与方程思想是中学数学的基本思想，蕴含在中学数学的各个阶段中．高中数学联赛加试中常出现二次问题，它们往往都有二次函数的背景，可巧妙地采用二次函数的方法找到问题的解答．本文通过实例予以分析．

例1 实数a，b，c≥1，满足abc+2a2+2b2+2c2+ca-cb-4a+4b-c=28，求P=a+b+c的最大值．（2011年全国高中数学联赛B卷加试第三题）

a22017-98a2017+9801≥7400，取等条件为a1=a2=1，a2017=a2018=49．最后，考虑对完全平方项的放缩，即a1～a2018中等于k（1≤k≤49）的有xk项，其中xk≥2，根据x1+x2+…+x49=2018，由隔板法得到取得等号时解的组数为C49-12018-49-1=C481968.

例3 非负整数a1，a2，…，a100满足：①存在正整数k≤100，使得a1≤a2≤…≤ak，ak+1=ak+2=…=a100=0；②a1+a2+a3+…+a100=100；③a1+2a2+3a3+…+100a100=2022，求a1+22a2+32a3+…+1002a100的最小值．（2022年全國高中数学联赛A卷加试第三题）

解析：参考答案的解法如下：

如果没有观察到问题的取等条件，则不清楚为何要讨论a20的值，更为自然的解法如下：

记S=a1+22a2+32a3+…+1002a100．首先，暂时忽略“整数”的条件．注意到k≥21，猜想当k=21时，S取到最小值，此时a1=a2=…=ak=0（1≤k≤19），讨论如下：

①若k=19，则a20=78，a21=22，不符合题意；

注：本题可以扩展为一般形式，并且在一般形式中，更容易发现上述系数a，b的本质．

变式 非负实数a1，a2，…，an满足：①存在正整数k≤n，使得a1≤a2≤…≤ak，ak+1=ak+2=…=an=0；②a1+a2+a3+…+an=n；③a1+2a2+3a3+…+nan=m（n2+n≤2m≤2n2）．求T=a1+22a2+32a3+…+n2an的最小值．

综上可见，本文三道例题中所蕴含着的数学知识并不深奥，其中的困难在于问题的思路与深邃的数学思想，这是数学竞赛的魅力所在．