基于“教—学—评”一致性的数学创新人才培养

孙军波 浙江师范大学教育学院；浙江省教育厅教研室

王智宇 浙江省台州市路桥中学

创造性技能被认为是21世纪最重要的技能之一.创新人才的一个基本特征是具有创新意识和创新能力.《义务教育数学课程标准（2022 年版）》和《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订）》都明确提出把“创新意识”作为数学核心素养的一个重要内容，其内涵可被解读为“能够积极主动地从特定的情境中发现、提出、分析和解决数学问题的能力，并通过数学学科的学习初步形成数学学科特定的认识和改造世界的世界观和方法论”.这表明培养创新意识和创新能力是深化数学核心素养培育的体现，对落实创新人才培养机制、推动素养导向的教与学的改革有着十分重要的引领作用.在当下的课程改革中，素养评价导向的课堂教学凸显了教、学、评的一体化发展，即突出“评价”的重要地位，逆向推动教与学，以期形成“教师的教、学生的学和对学生的评价”三个层面的有机统一以及“教学目标、教学手段、学习方式和教学结果”的一致性［1］.创新人才不是凭空出现的，而是成长出来的，其培养是一项系统性工程，需要以坚实的学科知识和技能为基础，以真实开放的问题情境为载体，以革新的学习方式为动力，以切实有效的评价为导向.下面，笔者具体阐述基于“教—学—评”一致性的数学创新人才培养路径.

一、深化素养培育目标，重组单元整体教学

数学创新需要坚实的数学知识和技能作为基础.基础越扎实，创新的潜力也就越大.离开数学知识的深度学习来谈创新人才的培养，只会失去立足点和生命力.

（一）分析数学知识的学习表现，深化素养培育目标

数学知识的学习表现可分为“知识理解”“知识迁移”“知识创新”三种形态，对应核心素养的三种水平.“知识理解”是“知识迁移”的基础，“知识迁移”又为“知识创新”作准备，“知识创新”则是素养培育目标走向深化的具体表现.创新人才的培养应当着重关注“知识创新”对“知识理解”和“知识迁移”这两个层次的素养目标的引领.“知识迁移”表现为通过类比和推理，将不熟悉的数学问题情境转化为熟悉的数学问题情境，并综合运用数学知识、技能和思想方法解决较复杂的数学问题；“知识创新”表现为运用数学思维解决非常规的、复杂的问题（包括结构不良的问题以及通过对旧的问题进行推广和变式形成的超出教材内容的问题），获得元认知知识，形成探究问题的意识和能力［2］.

由此可见，在数学学科知识层面，数学知识创新表现为对数学知识整体结构和体系的深度理解，以及对已有的数学知识、方法和思想的进一步发现.而发挥“知识创新”素养目标的导向作用，是在“教—学—评”一致性视角下落实创新人才培养的核心.

教师可基于课标中相应主题单元的学业要求、教材单元内容的编排理念、大概念以及专家思维等，结合“知识创新”的内容、特征和内涵确定素养目标，并从“学生需要建立的知识结构和联系，经历的思考和探究过程，解决的核心数学问题，形成的策略和方法，获得的深刻认识和启发以及所需要形成的数学方法论和世界观”等方面进行表述.同时，教师需要从四个方面综合把握学生的认知水平和发展规律：一是分析学生在学习这节课之前所形成的一般性的认知经验，即研究了什么内容、如何研究的以及是否具有可迁移性；二是判断学生在学习这节课时可能产生的比较普遍的认知障碍，即在研究的过程中会遇到什么困难以及如何应对这些困难；三是评估学生通过这节课的学习能够达到的认知水平区间，即学生学到了什么程度以及如何评估这种程度；四是将数学核心素养发展的阶段性、综合性和整体性等特征与学生的认知规律结合起来，做到逐层推进，协调发展.

（二）推进知识的深度学习，重组单元整体教学

单元教学是知识系统化和整体化学习的重要教学形式，可引领学生从整体的视角建构数学知识之间的内在逻辑关联.它抓取数学知识中的“精华”，突出对核心概念的理解，强化对数学本质和数学思想方法的认识，能引导学生归纳形成问题解决的一般策略，进而举一反三，实现迁移和形成创新.

为了推进知识的深度学习，在教学过程中，教师既要根据课标的说明和教材的编排组织单元内容，也要基于数学本质和学生的数学现实重组单元主题教学.需要强调的是，一个单元中内容的范围可大可小，不存在严格的边界，但是要凸显“核心概念的深化认识”“数学知识与技能的深度整合”“数学思想方法的聚焦”“问题解决能力的培养”这四条主线.在这个主题单元内，为解决问题，各教学内容在运用的研究方法、核心思想以及所指向的核心素养等方面共享统一性.这种统一性有助于学生建立大框架，形成大概念和大策略，从而生成超越教材的新知识、新技能和新方法.

根据学生的发展需要选取大小合适的单元，可从两个方面着手：一是明确一个单元中数学核心知识产生的背景和生成的起点，梳理知识生长的过程，分析知识发展的逻辑主线以及相关知识之间的联系，重组知识的内在结构，形成知识获得的策略和方法；二是通过预先调整和改变单元的大小，分析预设的教学内容所处的地位和价值，理清它与主题单元内其他教学内容的关联，以此确定单元教学内容的范围、核心思想以及更高水平的素养目标.

二、设计真实开放情境，提高学生的问题解决能力

判断学生是否拥有、能否运用创新意识和创新思维的关键是：在面对真实复杂的情境时，学生能否用数学的眼光发现和提出问题、用数学的语言表达和转化问题、用数学的思维分析和解决问题.创新思维的养成常常是在学生与真实的问题情境的持续互动中，通过不断解决问题、创生意义的过程而形成的.

（一）问题情境的特征及其在设计中存在的问题

问题情境是问题情境化和情境问题化的融合，是培育创新人才的重要载体.其中，情境为问题的发现、提出、分析和解决提供支持，而问题解决有助于情境的解释及问题情境的再发现和再创造.在这个过程中，学生的创新潜能会得到激发.因此，问题情境大体上需要具备五个特征：一是目的性，即围绕教学目标的达成；二是联系性，即沟通数学与现实生活、数学内部之间的联系；三是问题性，即蕴含思维障碍和待解决的数学问题；四是激励性，即引发学生产生情感共鸣和解决问题的动机；五是多样性，即包括数学文化和数学史情境、现实情境、社会情境、科学情境等多种类型［3］.

（二）问题情境设计存在的问题及分析

当下的数学课堂教学中，问题情境设计的“失度”现象屡见不鲜，比如“情境缺乏真实性和探究性”“情境类型缺乏多样性，情境来源渠道较窄”“情境与问题之间缺乏紧密联系，学生失去了发现和提出问题的机会”“情境结构过于良好，问题解决的方案单一”等，这表明一线教师在教学实践过程中，对问题情境设计的“基本框架”“问题解决能力指向”“基本路径”等存在认识上的不足［4］.

学生在学习过程中遇到的问题情境绝大多数是结构良好的，其解决方案单一，会限制学生思维发展的空间.因此，教师需要让学生在真实复杂的情境中发现问题并且主动地探究解决问题的方案，感受数学在现实世界中的广泛应用，理解问题解决的意义和价值.而真实开放的问题情境能够为创新提供源泉.

（三）真实开放情境的意义及设计要求

情境真实，强调的是能够让学生身临其境般地进入现实世界的探索情境中，获得接近于解决真实情境中真实问题的体验感.而创新实际上往往孕育于对知识进行有意义的迁移和应用的过程之中，因此，真实复杂的情境能够为培养学生的创新能力提供良好的空间环境.在这个空间环境中，学生能够积极主动地探究问题，整合学过的数学知识与技能，经历问题解决的完整过程.

情境开放，是指为学生提供不完整的信息，问题情境中所涉及的条件、资源和反馈是开放的，问题解决的方案是多样化的.开放的问题情境往往比较复杂，对学生解决问题的能力要求高，需要学生进行逻辑和策略的重组.它强调数学思维的灵活应用，对学生的数学建模能力有较大的挑战，而这种挑战恰恰有助于激发学生的学习动机和学习潜能，促进创新意识和能力的形成.

在实际教学过程中，教师要遵循数学知识内在的发展逻辑及其在社会生产生活实践中运行的客观规律，并基于学生的数学现实，不断地调整问题情境的整体复杂性水平，包括情境内容从熟悉到陌生、从半开放到完全开放，情境到问题的数学表征从单一到多元，情境与问题的融合度从低到高等，促进学生创新能力的逐步和逐层发展.

三、开展综合与实践活动，推动学习方式革新

《义务教育数学课程标准（2022 年版）》指出，综合与实践“以问题解决为导向，整合数学与其他学科的知识和思想方法，让学生从数学的角度观察与分析、思考与表达、解决与阐释社会生活以及科学技术中遇到的现实问题，感受数学与科学、技术、经济、金融、地理、艺术等学科领域的融合，积累数学活动经验，体会数学的科学价值，提高发现与提出问题、分析与解决问题的能力，发展应用意识、创新意识和实践能力”.这表明，对综合与实践这种新型的学习方式，教师需要切实理解并加以贯彻.

（一）综合与实践在培养创新人才方面的表现

如果说“单元整体教学”和“问题情境设计”关注“教师的教”，那么“开展综合与实践活动”则关注“学生的学”.学生在传统的学习方式中更容易获得“惰性的知识”，这不利于创新人才的培养，因此需要革新学习方式，而综合与实践就是一种有效方式.综合与实践活动的开展能为培养创新人才提供动力和引擎，这具体表现为以下两点.

其一，提高解决实际问题的能力，形成对数学方法的深刻认识.综合与实践是一种研究性学习，能发挥真实情境中问题解决的导向作用.它以学为中心，注重激发学生的学习兴趣和探究欲望，使其从“被动的学习”转化为“主动的学习”，并在学习内驱力提升的基础上，思考如何灵活地运用数学知识、技能、方法和思想解决现实问题.如此，可以帮助学生养成对问题的探究意识和探究能力，形成解决非常规问题的能力，实现对解决问题的一般步骤、一般方法和一般规律的认识跃迁，进而为推动从“小创新”上升到“大创新”打下坚实的基础.

其二，感受数学与其他学科的深刻联系以及数学在现实世界中的广泛应用，树立正确的人生观和世界观.数学教学中的综合与实践必须以数学学科知识为主导，整合其他学科知识，开展跨学科实践活动，引导学生学会用数学的眼光看待世界.它能为促进数学创新提供清晰的路径.众所周知，在高精尖科技、基础学科研究、金融、大数据分析等促进社会发展的关键领域的重大创新中，数学都扮演着十分重要的角色.坚实的数学理论知识能为创新打下基础，数学与现实世界的紧密联系能为创新打开大门，而创新的动力则来源于对自身的不断追求以及对民族、国家和社会的强烈的使命感和担当意识.在综合与实践活动中，学生要经历小组合作、调查研究、数据收集和分析、模型建构和修正、结果反馈与评价等多个环节.在这些积累数学活动经验的过程中，学生的学习、探究并非总是一帆风顺的，这是因为条件、资源和结果的开放往往会给学生带来很多干扰.只有经历这些锤炼，学生才能逐步体会数学的真善美，形成对数学理性精神、科学精神和人文精神的正确认识，实现对自我人生观、价值观和世界观的锻造.

（二）综合与实践实施注意事项

综合与实践是以真实情境中的问题为引领、以学为中心的探究性学习方式，主要包括主题式学习和项目式学习，在实施过程中，教师需要把握以下三点.

其一，突出情境设计和有价值的数学问题解决.知识具有情境性，不是客观确定的，也不是主观创造的，而是在个体与环境的交互作用中建构的.教师要立足于数学学科内部有价值的问题解决，抓住数学问题的本质和演化方向，强化情境与问题、问题与问题之间的联系和表达，综合体现问题情境的开放性、激励性、探究性和价值性，让学生在真实的情境中更加自然地经历发现、提出和解决问题的完整过程.

其二，避免程序化的教学方式，积极做学生学习的引导者.教师既要真正赋予学生探究问题解决方案的权利，即懂得放权、舍得放权，也要在学生问题理解的关键处提供思维和技能的指导，帮助其完成数学建模，还要赋予学生更多反思和评估的机会，促进其高质量学习，帮助其获得知识创新.

其三，加强学习资源的整合和运用.综合与实践学习往往涉及对现实世界中真实现象、规律和数据等的研究分析，因此教师要加强信息技术资源的整合与融入，实现对情境和数学问题的多元化表征，为学生提供更多可视化的学习资源和数据分析工具，推进其自主学习，促成其对研究问题的深度认识.同时，教师要为学生提供更为开放的学习环境，让其在轻松的氛围中更加积极主动地去寻找学习机会和学习内容，激发创新思维.

四、落实多元评价机制，发挥评价的育人导向功能

科学有效的评价机制是落实创新人才培养的重要保障，也是逆向推动教学方式和学习方式革新的着力点，能为实现教、学、评的一体化协同发展提供切实可行的方向.研究表明，在全球范围内，由于创新能力的复杂性及其难以严格规范的定义，导致很难通过模式化、单一化的测评方式对其进行精准的判断和预测［5］.因此，在实际教学中，教师需要健全评价机制，开展多元化评价，凸显评价内容、评价方式和人才培养目标的一致性，兼顾对过程和结果的评价，着重落实评价内容的指标化、体系化和科学化，实现创新人才培养的可见、可评和可测.在评价的实施过程中，教师需要重点把握好以下三点.

其一，发挥学业质量评价的引领作用.学业质量评价是落实创新人才选拔和培养的重要阵地.命题者应遵循课标的具体要求、学业质量标准和学生的综合学习水平，突出命题的基础性、综合性、应用性和探究性，既要注重考查学生对“四基”“四能”的理解以及对数学知识整体结构的把握，也要注重考查学生在真实情境下的问题解决能力.学业评价中的情境类型可以是与学生密切相关的现实生活和社会情境，也可以是符合学生认知发展的数学情境（包括数学史和数学文化情境）或科学情境.在具体的命题过程中，命题者要进一步建构、细化和调整学业质量评价指标，从而保证能以科学规范的方式对学生的学习质量和成果进行评价，推动以评导教和以评导学.

其二，重视表现性评价的渗透.威金斯与麦克泰格认为，表现性评价是指通过收集学生在真实情境中的真实反应、行为和作品作为评估证据，对学生完成表现性任务过程中所使用的知识与技能以及对大概念的理解水平进行分析.而开展表现性评价绕不开下面四个基本的问题：（1）如何根据“理解”的划分对具体的教学目标进行分解、描述和表征？（2）基于教学目标的表现性评估有哪些一般的类型？（3）学生在完成表现性任务时可能出现的行为特征能否与预期目标对应起来？（4）评估是否具有区分度，即如何对评估的信度和效度进行检测？［6］在教学实施前后，通过学生的反馈和对这些基本问题的反复思考，教师能够有效地分析教学目标、问题情境、单元教学、表现性任务和评估细则之间的一致性，并通过动态调整实现“教—学—评”一致性.随着学生“理解”水平的不断进阶，教师对学生创新能力的要求也会不断提高，这为创新人才的培养提供了空间.

其三，关注过程性评价.创新人才的培养并不是一蹴而就的，而是一个学生在知识学习、数学理解和兴趣培养中逐渐发展起来的持续性过程.因此，教师要充分认识到创新人才培养的持续性和阶段性评价的作用.在日常评价中，教师除了要关注学生静态的学习水平外，更要关注学生在学习过程中动态的成长和变化，发现学生在学习过程中碰到的问题，分析问题产生的原因，从而评估教学的有效性，并及时地调整教学方式.通过观察和评估学生的日常学习行为和思维发展过程，教师能有针对性地引导学生优化数学学习方法和学习习惯，增加其学习自信心，帮助其提升学习兴趣.

总之，上述四条路径是以“教—学—评”一致性为统摄，紧紧围绕教学方式、学习方式和评价方式的协调发展而建构的.它们彼此之间形成了一个较为完整的系统，可实现相互融通、相互优化，为推动数学创新人才培养提供持续性的动力.