对一道抛物线焦点弦问题的解法探析

杨艳洁

【摘要】基于“三新”的解题教学与研究，是提升数学能力以及培养数学核心素养的一个重要环节.文章结合一道抛物线的焦点弦所对应的焦半径长的线性关系式问题的最值求解，依托对典型问题的深度学习，回归教材追根溯源，并从多个数学思维角度切入，利用多种解题方法进行剖析，并在此基础上加以探究与变式，引领并指导数学教学与解题研究.

【关键词】抛物线；思维；变式；解法探析

在新教材（人民教育出版社2019年国家教材委员会专家委员会审核通过）、新课标（《普通高中数学课程标准（2017年版2020年修订》）、新高考的“三新”背景下，对解题教学进行研究显得更加重要，对于合理优化教学过程，进行深度学习，提升学生数学知识运用能力以及培养学生数学核心素养等都有很好的效益.下面笔者以一道抛物线的焦点弦所对应的焦半径长的线性关系式问题为例进行探究.

一、问题呈现

本题以抛物线的焦点弦为问题场景，通过抛物线的焦半径长的线性关系式的合理构建确定其相应的最值问题，以“动”态形式创设问题，以“静”态最值来确定答案.此类问题以各种不同的形式出现于各级各类的数学试卷中.

具体解决以上问题时，解题者可利用抛物线的焦点弦以及焦半径的相关知识，结合直线与抛物线的位置关系，合理创设条件，从定义思维、极坐标思维以及“二级结论”思维等不同视角来切入，结合不等式的基本性质等相关知识，利用不同的技巧方法来分析与处理问题，都可以很好地达到分析与求解的目的.

二、追根溯源

涉及抛物线的焦点弦或焦半径的长度及其线性关系式问题，在教材中多次见其“影子”，是问题设置的一个基本场景.

【例题】（普通高中教科书数学选择性必修第一册人教A版第135页例4）斜率为1的直线l经过抛物线y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于A，B两点，求线段AB的长.

答案 |AB|=8.

以上教材例题中，涉及相关抛物线的焦点弦长的求值与计算问题，是直线与抛物线的位置关系中最为常见且最为基本的一种关系，深入理解与掌握相关的知识以及问题的解决方法，对于深化理解知识点与掌握基本技能，有很大的帮助与促进作用.

三、问题破解

（一）思维视角一：定义思维

方法1：（定义法）

所以|AF|+2|BF|的最小值为3+22，故选A.

解后反思 定义法是解决圆锥曲线问题中最常用的一种技巧方法，通过巧妙设置焦点弦所在的直线方程，与抛物线方程联立，借助函数与方程思维的转化与应用，回归点的坐标，结合抛物线的定义加以利用，进而借助基本不等式来放缩处理.该思维过程也是解决直线与圆锥曲线的位置关系问题中最基本的方法.

（二）思维视角二：极坐标思维

方法2：（极坐标+基本不等式法）

解析 依题知p=2，

解后反思 圆锥曲线的极坐标方程是选修部分的一个基本知识点，在新教材中已经没有涉及，只是作为课外知识加以拓展与提升.根据抛物线的极坐标方程加以转化，利用焦半径长的结构特征，合理构建抛物线的焦半径长的倒数和为定值，进而利用基本不等式加以合理放缩处理，达到确定最值的目的.

方法3：（极坐标+权方和不等式法）

解析 依题知p=2，

解后反思 利用抛物线的极坐标方程加以转化，确定相关焦半径长的三角表达式，进而结合关系式的结構特征，直接利用权方和不等式加以合理放缩，更加直接有效.这里涉及权方和不等式，是高中竞赛中非常有用的一个不等式，常用来处理分式不等式的放缩与应用问题，是课外拓展与提升的一个很好场所.

（三）思维视角三：“二级结论”思维

方法4：（焦点弦性质法）

解析 依题知p=2，

（二）深入变式

探究2 保留原问题的创新场景，以抛物线的焦半径长的线性关系式取得最值为前提，进而深入确定相关焦点弦的长度问题，得到以下相应的变式问题.

以上变式2的解决方法除了定义法外，还可以通过极坐标法等来分析与应用，可以参照原问题中的相关技巧方法来解决.

五、教学启示

（一）回归定义，优化过程

圆锥曲线的定义是圆锥曲线相关知识及其应用的根本，是对应曲线（椭圆、双曲线、抛物线等）最本质的几何特征，是有关圆锥曲线问题的出发点，更是相关新知识、新思维的生长点.

借助圆锥曲线的定义解题，可以回归概念本源，构建合理关系，优化数学运算，实现以退求进，以简驭繁，真正达到化难为易、化繁为简、事半功倍的效果，优化解题过程，提升解题效益.

（二）“二级结论”，优化思维

数学中一些常见的“二级结论”，是综合数学基础知识与思想方法等总结归纳并抽象提炼而来的，是对相关数学知识点的深入与拓展，具有明显的结构特点.

借助一些圆锥曲线中典型的“二级结论”，能有效深化对圆锥曲线相关知识的理解与掌握，交汇融合一些相关的知识与思想方法，具体解题时，解题者可以省略其中一些不必要的过程，真正优化解题过程，简化数学运算，优化逻辑推理，这对于问题的快速有效解答起到非常重要的作用，有利于节约宝贵的时间.

结 语

综上，涉及抛物线的焦点弦或焦半径的长度及其线性关系式等综合应用问题，是各类高考数学模拟卷中非常常见的一类基本题型与热点问题之一.具体解决实际问题时，教师可以借助常规的方法，利用直线与抛物线的位置关系合理联立方程组，并通过函数与方程思维来求解与应用；还可以借助“二级结论”，利用一些相关的典型性质、公式等对应的结论来直接应用，合理优化过程，简化运算，提升解题效率.

【参考文献】

[1]韩文美.焦点之弦，灵巧善变：基于一道教材例题的探究（抛物线）[J].中学生数理化（高二数学），2022（11）：15-16，18.

[2]刘晋江.对一道抛物线问题的思考[J].中学数学教学参考，2023（15）：77-78.

[3]蔡晓波.对一道抛物线平行弦模考题的探究[J].中学数学研究（华南师范大学版），2023（9）：27-29.

[4]杨玉汉.G·波利亚“解题四步骤”的应用与思考：以一道抛物线题为例[J].中学数学教学参考，2023（6）：68-69.