指向学生思维能力生长的数学小实验开发路径

张明华

摘 要 数学小实验开启了学生动手做、动脑思的新路径，让学生在动手操作过程中掌握思考路径、懂得思考步骤、学会思考方法，赋予学生数学思维力生长的力量。在实验过程中可以通过问题，在解疑证惑中推进数学小实验；通过方法，以逻辑推理引领数学小实验；通过反思，让理性审视反哺数学小实验。

关  键  词 数学小实验；教学思维力；数学问题；逻辑推理；理性反思

心理学研究表明：儿童的思维是从动手开始的，切断活动与思维的联系，思维就得不到发展[1]。在数学教学中，动手操作是解决数学知识抽象性和学生思维形象性之间矛盾的关键要素。《义务教育数学课程标准（2022年版）》指出：学生的学习应是一个主动的过程，认真听讲、独立思考、动手实践、自主探索、合作交流等是学习数学的重要方式。数学小实验作为一种能够充分体现学生动手操作、探究交流能力的重要学习方式悄然走进小学数学课堂[2]。数学小实验是让学生自己动手操作，通过探究、发现、思考、分析和归纳等思维活动，最后获得概念理解或解决问题的一种教学方式。在数学实验过程中，学生经历数学知识的再创造、再发现，感悟数学思想方法，积累数学活动经验，进而实现数学思维力的生长。

一、提炼问题：让解疑证惑推进数学小实验，凸显有层次的“思”

数学思维力是指用数学观念思考问题和解决问题的能力，因此，数学问题是发展学生数学思维力的重要载体。数学小实验活动的开展不是机械的、盲目的，而是具有一定的针对性。教师应以数学问题为引领，使之贯穿整个实验过程，这不仅能让数学实验有的放矢，而且能为学生创造独立的思考时空，引发学生的实验期待，点燃学生的实验兴趣，从而积极参与到解决问题的思维活动中[3]。

如苏教版《数学》四年级下册第七单元的“多边形的内角和”，要求学生探索发现多边形内角和与边数之间的关系，经历和体验探索数学规律的实验过程。结合该内容，笔者设计了“探索多边形的内角和”数学小实验，并以问题为驱动，引导学生通过实验解疑证惑，体现有层次的思考。

问题1：四年级我们学习了角的度量，测量了不同形状三角形的内角。随着三角形形状的变化，各个内角的度数也随之发生变化。那么，任意三角形的内角和都是一个固定值吗？任意多边形的内角和呢？

在问题的驱动下，学生以小组为单位进行数学实验，考虑到学生学情，为降低探究难度，笔者进一步结合问题1进行提问，帮助学生细化实验任务。

问题2：任意三角形的内角和都是180°，四边形的内角和会是一个固定值吗？

学生自主实验，通过拼角和测量的方法，猜测四边形的内角和是360°，为进一步验证实验结果的准确性，学生分享了多种计算方法（如图1）。

问题3：对以上四种方法进行对比分析，你们能发现什么？

对以上四种方法进行对比分析后发现，求四边形内角和可以转化成三角形内角和计算。

问题4：看来，“分一分”是个好方法。你会用这样的方法继续探究五边形、六边形……的内角和吗？

学生各自操作、计算和实验，尝试运用多种方法将五边形、六边形……等分成三角形，再计算多边形的内角和。接着，笔者继续提问：从以上的研究中，你们发现多边形的内角和与什么有关系？是否存在一定的规律呢？

学生按序整理多边形内角和的情况并填写在表格中，发现它们的度数都是180的倍数，且分成的三角形个数比边数少2（见表1）。照这样，当多边形的边数是n时，它的内角和可以表示为（n－2）×180°。

在实验过程中，笔者以“任意多边形的内角和是否为固定值”这一问题，引领学生将求多边形的内角和问题转化为三角形的内角和加以解决，学生动手操做和数学思考处于挑战、思考、再挑战、再思考的螺旋上升过程中，进而促进学生思维的层层深入，教会学生如何思考问题。

二、开展类比：以逻辑推理引领数学小实验，探索有路径的“思”

类比是一种严谨的逻辑推理论证方法，追求的是过程的严谨、结论的可靠，强调的是帮助学生借助熟悉的事物理解新知识。类比包含概念与操作的类比、结论的类比、方法的类比等。小学数学课堂中的数学小实验是“再发现”的过程，而很多知识和结论对小学生而言，都是未知的，也是陌生的，能否借助已经掌握的知识进行类比推理得到新知识呢？这是数学小实验探究的一种有效思路。因此，在教学过程中需要教师巧妙地将新旧知识联系起来，以逻辑推理引领数学小实验，帮助学生掌握研究问题的一般方法，从而获得思考、解决问题的一般规律，发展学生思维力[4]。

苏教版《数学》五年级下册第六单元“圆面积的计算”要求学生用数方格的方法算出圆的面积。同计算圆的周长类似，度量圆的面积与度量长方形、三角形、平行四边形的面积有很大不同，学生一开始并没有明确的度量方法，这就需要他们利用已有的经验去类比推理、验证猜想。为此，笔者设计了“圆的面积探索”数学小实验，引导学生将新旧知识联系起来探索新知识。

活动一：在回顾探究长方形面积公式方法（构造法：确定基准+平移变换）的基础上思考：怎样通过长方形面积公式推导出三角形、平行四边形、梯形面积公式呢？

通过活动一，引领学生回顾如何利用几何变换进行二维封闭图形面积的度量，为类比探究做铺垫。

活动二：如图2，假设圆的半径为1，两幅图中的正方形面积是多少？比一比两幅图中正方形面积的大小，你能做出怎样的猜想？

活动二的目的是通过勾通圆与正方形之间的关系，让学生通过对正方形面積的计算，能够对圆的面积进行类比推理，产生一个初步的猜想，从而为学生的实验探究找到一条可行的思考路径。将圆的半径设为1，主要是便于学生计算。通过对比计算两个正方形的面积，学生发现圆的面积应该大于半径平方的2倍，小于半径平方的4倍。回顾圆的周长推导方法，学生发现圆的周长大于直径的2倍，小于直径的4倍，最后得出圆的周长是直径的π倍。那么，有部分学生就会类比推理得出：圆的面积与半径的平方之间也会存在类似的关系。

活动三：如图3用数方格的方法计算圆的面积，想一想圆的面积与它的半径之间有什么关系？

学生通过数方格的方式发现：①圆的面积是它半径平方的3倍多一些；②圆的面积大约等于半径×半径×3。但如何验证呢？学生毫无思路。于是，笔者重点引导学生思考圆的周长公式推导过程中，我们还运用了化曲为直的数学思想方法。那么，在这里大家是否也可以运用化曲为直的方法呢？

活动四：类比圆的周长推导方法，我们先把圆平均分成8份“小三角形”，看一看“小三角形”可以拼成一个什么图形？如果把圆平均分成16份？32份呢？……拼成的图形与前面的相比，有什么变化吗？

面对一个新的问题，借助已有经验去类比、猜想，这个过程是非常神奇的。我们通过数学小实验，引领学生通过类比圆的周长探究方式推导圆的面积公式，可以促进学生逻辑思维能力的发展。

三、加强反思：让理性审视反哺数学小实验，实现有深度的“思”

反思是一个深度思考的过程，它并不是简单地回顾自己的错误，而是冷静客观地审视问题、复盘问题、分析问题，理性审视自己的思维方式和行为模式。数学小实验是以解决问题为导向的探究性活动，通过反思性学习，可以让学生主动去观察比较、寻找规律、归纳应用，从而使学生的数学操作活动成为一种有目标、有策略的主动行为，最重要的是让学生学会有深度的思考，并养成良好的自我反思习惯[5]。

苏教版《数学》四年级上册第八单元“垂线和平行线”的“动手做”部分，要求学生用一幅三角尺拼一拼、画一画、量一量，知道三角尺拼出的角的度数。结合该内容，笔者设计了“三角尺拼角”的数学小实验，将学生的动手操做与反思性问题有机结合起来，引导学生边操作、边反思，巩固对直角、锐角、钝角的认识，进一步感悟数学中形与数的联结与转换。

1.活动一：看一看，一副三角尺有几个？分别是什么样的？量一量，每块三角尺中三个角的度数分别是多少。

学生自主观察，并用量角器量一量，得出结论：一幅三角尺有两个，其中一个三角尺的度数为：90°、45°、45°，另一个三角尺的度数为：90°、60°、30°。

2.活动二：用一副三角尺如图4这样拼一拼，再说说拼出的角各是多少度？

学生自主拼角，把两个三角尺像第一幅图这样拼，拼出的角是：90°+90°=180° ；把两个三角尺像第二幅图这样拼，拼出的角是：60°+45°=105°。

3.活动三：试一试，如何用一副三角尺拼出直角？

在动手前想一想打算用哪两个角拼成直角，然后自主拼角，记录在练习纸上，并与同桌交流，说一说你是怎么拼的，学生在此过程中领悟并获得“怎样有序地拼角”的学习经验。

4.活动四：同桌合作，用一副三角尺拼出锐角和钝角，并说一说你是怎么想的？

动手前想一想打算用哪两个角拼成锐角或钝角，先尝试拼锐角，然后尝试拼钝角，并和同桌交流，说一说你是怎么想的。有的学生把三角板上面的角做加法，画出30°+45°=75°，45°+60°=105°，30°+90°=120°，45°+90°=135°，60°+90°=150°，90°+90°=180°这几种不同的角；有的学生把45°角和30°角叠在一起做减法：先画出45°的角，再在里面画出一个30°的角，剩下的就是15°的角，45°-30°=15°。学生在有序拼角的基础上，笔者引导他们通过说一说的形式，不断反思自己的操作过程。有的提出拼钝角可以用直角加任意一个锐角，如果选两个锐角就要选较大的两个；有的认为锐角和锐角可以拼出锐角，也能拼出直角；还有的将这些画出的角从小到大进行排列：15°、30°、45°、60°、75°、90°、105°、120°、135°、150°、180°。结果发现这些画出的角的度数都是15°的倍数。这样的反思，能让学生用理性反哺数学小实验，能让学生的思维走向深刻，使学生获得深入研究、深入思考的兴趣和动力。

有趣的思考胜过千言万语的赞美，学习成就高的学生将学习当成一趟有趣的发现之旅。这就是数学小实验的实践意义：能让学生的数学思维从低阶迈向高阶，真正理解数学本质。只有当学生的数学小实验与数学理解相互交融，学生的学习才能进入主动的、积极的、自发的状态，进而有效提升他们的数学思维力，发展数学核心素养。

参考文献

[1] 徐明旭.从数学语言到数学模型：小学数学的思维进阶路径[J].教育理论与实践，2023，43（11）：51-54.

[2] 白常平，王圣昌，章勤琼.经历知识形成过程  实现数学深度阅读——“圆柱容球”的教学实践与启示[J].小学数学教师，2023（11）：83-86+26.

[3] 沈利玲.數学思维可视化工具的类型及其应用[J].教学与管理，2020（17）：48-51.

[4] 汪奇.借助教材图式培育学生数学思维[J].教学与管理，2020（26）：56-57.

[5] 徐志彤.注重类比推理：小学数学课培育创造性思维的尝试[J].人民教育，2021（07）：66-68.